Las progresiones sobre este contenido se han organizado en dos partes: Resolución de diversos tipos de problemas y Estrategias de cálculo.

La sección referida a Resolución de diversos tipos de problemas comprende los diferentes sentidos de cada operación. Para la multiplicación, en primer lugar, aquellos que implican repetir ciertas cantidades, también llamados de series proporcionales, que pueden estar presentados de diferentes formas: con enunciados o con tablas. Luego, los que implican determinar la cantidad total de elementos ordenados en una disposición rectangular, a partir de conocer la cantidad de filas y de columnas. Por último, problemas sencillos que exigen averiguar la cantidad de combinaciones posibles entre dos colecciones. Forman parte de los tipos de problemas de división, además de esos mismos tipos de problemas ya mencionados, aquellos que implican partir o repartir. Una cuestión que se inicia hacia finales del primer ciclo a propósito del trabajo con esos últimos problemas es el análisis de qué sucede con el resto.

Como ya fue comentado respecto de la suma y la resta, resolver problemas supone gran complejidad para los alumnos ya que demanda la articulación de diversas capacidades. Comprender un problema implica construir mentalmente una representación de la situación planteada en el enunciado, reconocer una serie de datos e identificar preguntas que exigen reflexión y toma de decisiones. Para aprender a resolver problemas los alumnos deben tener oportunidades reiteradas de enfrentar diversos tipos de situaciones que requieran analizar cuáles son los datos pertinentes o necesarios, cuál es la pregunta que se plantea, si es posible encontrar una solución, más de una o si no la hay, etc.

Por otra parte, el avance de los alumnos en Estrategias de cálculo implica la construcción progresiva de un repertorio multiplicativo inicial a partir del análisis de las relaciones entre los datos dados en tablas con series proporcionales. Luego, se avanza hacia el análisis y uso de la tabla pitagórica y hacia el cálculo mental con números redondos o descomponiendo cantidades. Para el trabajo con la división, es necesario que los niños establezcan la relación entre esta operación y la multiplicación y entiendan a la división como la operación que permite hallar el factor desconocido en una multiplicación. A partir de allí, es necesario establecer su relación con los cálculos de la tabla pitagórica y visibilizar cómo nos apoyamos en ella para resolver divisiones. A continuación, se avanza hacia la resolución de cálculos mentales de divisiones con números redondos. En los niveles más avanzados se incluyen, tanto para la multiplicación como para la división, el análisis y uso de diferentes algoritmos de cálculo o cuentas con sostenimiento de cálculos y escrituras parciales bajo la decisión del alumno. Asimismo, se propone para ambas operaciones un inicio en estrategias de cálculo estimativo. Igual que para la suma y la resta, la calculadora se incluye para la verificación de cálculos mentales y algorítmicos o para la resolución de problemas.

Es muy importante recordar que la evolución en los niveles de progresión que a continuación se desarrollan podrá aparecer bajo la condición de que los alumnos hayan participado en situaciones sostenidas y sistemáticas de enseñanza para cada clase de problemas.

Como en el caso del trabajo con suma y resta, aquí también es necesario aclarar que esta distinción que se propone entre Resolución de diversos tipos de problemas y Estrategias de cálculo se realiza solo con el fin de organizar la presentación de la información sobre la progresión esperable, pero son dos asuntos que están completamente relacionados en la enseñanza. Es necesario abordar estos dos aspectos de manera simultánea a la hora de programar el trabajo en el aula. Las estrategias para resolver cálculos utilizadas por los alumnos se relacionan con el tipo de problema presentado y no avanzan de manera uniforme para cada tipo de situación. Por otro lado, el trabajo con distintos sentidos permite analizar y establecer diferentes relaciones entre procedimientos de cálculo posible.

Para la biblioteca del aula se colocaron 6 estantes. Si en cada uno se pusieron 12 libros, ¿cuántos libros hay en la biblioteca en total?

Se puede observar para cada alumno si:

• comprende que se trata de un problema multiplicativo donde el 6 indica la cantidad de veces que se repite el 12. Esto no implica necesariamente que escriba el cálculo 12 x 6. Si un niño suma 6 veces el 12, está comprendiendo el rol diferente que juegan los números en la relación. Esto no sucede si hace 12 + 6;
• puede reconocer que lo que plantea el problema se representa con una multiplicación, es decir, reconoce la escritura matemática que corresponde: 12 x 6 (aunque lo resuelva sumando);
• resuelve con procedimientos ligados al conteo o con procedimientos de cálculo:


• hace un dibujo para representar la situación y pone 12 marcas seis veces;
• hace un dibujo para representar la situación pero, en lugar de hacer marcas, escribe seis veces el 12 y suma para resolver;
• hace algún tipo de cálculo directamente, sin necesidad de hacer una representación gráfca: suma el 12 seis veces, suma el 6 doce veces, multiplica 12 x 6 con el algoritmo o con algún procedimiento de cálculo mental.

De aparecer un error en el resultado, es importante analizar si es que el alumno no comprendió la situación planteada y, por ejemplo, suma 12 + 6, o se trata de un error en el conteo o en el cálculo.

Se presenta una tabla –que relaciona magnitudes directamente proporcionales– para completar. En su armado, es importante considerar si se da o no el valor unitario, dependiendo del tipo de trabajo de enseñanza realizado. Otra cuestión a decidir es el tipo de datos presentes en “el conjunto de partida”: si se dan valores sucesivos o no, y si no es así, qué relación tienen entre ellos.

Es probable que sea necesario requerir a los alumnos que expliquen oralmente la estrategia utilizada.

En el kiosco cada chupetín sale $7. Completá esta tabla con los valores que faltan. Explicá cómo lo pensaste. Cantidad de chupetines 1 2 4 6 8 10 $ 7

A partir de la situación se puede observar qué estrategia utiliza el alumno:

• completa cada valor empezando siempre desde 7, sin considerar los resultados ya encontrados. Por ejemplo, para completar el precio de 6 chupetines, suma seis veces el número 7;
• completa cada valor tomando en cuenta el anterior, sumando 7 a la cantidad que corresponde. Por ejemplo, para completar el precio de 6, suma al valor de 4 chupetines (28), dos veces el número 7, o directamente 14;
• completa cada valor tomando en cuenta la relación que hay entre ellos. Por ejemplo, para completar el precio de 8 chupetines, busca el doble del valor de 4. También, podría encontrarlo sumando los valores correspondientes a 6 y 2 chupetines;
• elige cualquiera de los procedimientos anteriores pero produce errores al calcular o contar;
• suma siempre 7 a cada valor anterior, sin tener en cuenta la cantidad de chupetines pedidos (que, en este caso, no es sucesiva). En consecuencia, completa erróneamente la tabla.

El problema siguiente busca indagar si los alumnos reconocen qué situaciones pueden ser representadas con un cálculo multiplicativo. No se propone evaluar las estrategias de cálculo que se pueden poner en juego.

Marcá en cuáles de estos problemas se puede utilizar el cálculo 8 x 3 para obtener la respuesta De las 8 cajas de jugos que tenía María, ya vendió 3. ¿Cuántas cajas le quedan para vender? Andrés compró 3 bolsas de caramelos. Cada bolsa tiene 8 caramelos. ¿Cuántos caramelos compró? Sofía tenía 3 botellas de pomelo. Hoy le dejaron 8 botellas más. ¿Cuántas botellas tiene ahora? En el balcón de la casa de Pedro hay 3 filas de 8 baldosas cada una. ¿Cuántas baldosas hay en todo el balcón?

• A partir de la actividad, se puede observar si el alumno selecciona los problemas b y d o solo reconoce alguno de ellos como un problema multiplicativo.

Un aspecto importante del trabajo con la multiplicación es poder reconocer qué situaciones pueden ser resueltas con una multiplicación y cuáles no. Si bien la multiplicación puede resolverse con una suma, no es la suma de los dos números del enunciado. Los problemas planteados ponen en juego los mismos números, y es necesario considerar la relación entre ellos para decidir cuáles de estas situaciones pueden ser resueltas con una multiplicación.

Nicolás tiene 54 caramelos y quiere repartirlos entre sus 6 amigos, de modo que todos reciban la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos le dará a cada amigo?

A partir de la situación se puede observar si el alumno:

• comprende que se trata de un problema que exige distribuir 54 entre 6. Esto no implica necesariamente que escriba el cálculo 54 : 6. Si dibuja o resta al 54 sucesivos 6, o suma el 6 hasta llegar a 54, está comprendiendo el rol diferente que juegan los números en la relación;
• puede reconocer que lo que plantea el problema se representa con una división, es decir, reconoce la escritura matemática que corresponde: 54 : 6 o 54|6 (aunque lo resuelva sumando o restando);
• resuelve con procedimientos ligados al conteo o con procedimientos de cálculo:


• hace un dibujo para representar la situación (por ejemplo, dibuja los caramelos y los seis amigos unidos con flechas; dibuja seis amigos y distribuye los caramelos en partes iguales, etc.);
• hace algún tipo de cálculo de suma o resta, sin necesidad de hacer una representación gráfica: suma el 6 hasta llegar a 54, resta a 54 nueve veces el 6;
• hace un cálculo multiplicativo: busca qué número multiplicado por 6 da 54 y escribe 6 x 9 = 54.

De aparecer un error en el resultado, es importante analizar si el alumno no comprendió la situación planteada y, por ejemplo, suma o multiplica el 54 y el 6, o se trata de un error en el conteo o en el cálculo.

En una juguetería, se quiere acomodar 48 muñecos en 5 estantes de modo que en todos haya la misma cantidad de muñecos. ¿Cuántos deben colocar en cada estante? ¿Sobran muñecos? ¿Cuántos?

A partir de la situación se puede observar si el alumno:

• comprende que se trata de un problema que exige partir el 48 en 5 partes. Esto no implica necesariamente que escriba el cálculo 48 : 5. Si un alumno dibuja, resta al 48 sucesivos 5, o suma el 5 hasta acercarse al 48, está comprendiendo el rol diferente que juegan los números en la relación;
• puede reconocer que lo que plantea el problema se representa con una división, es decir, reconoce la escritura matemática que corresponde: 48 : 5 o 48|5 , aunque lo resuelva sumando o restando;
• puede reconocer, además, el resto, y responder a la pregunta sobre cuántos sobran;
• resuelve con procedimientos ligados al conteo o con procedimientos de cálculo:


• hace un dibujo para representar la situación, y pone 48 marcas a las que agrupa de a 5;
• hace algún tipo de cálculo de suma o resta, sin necesidad de hacer una representación gráfica: suma el 5 hasta llegar a 45, resta sucesivamente 5 a 48;
• hace un cálculo multiplicativo: busca qué número multiplicado por 5 se acerca a 48 sin pasarse, y escribe “5 x 9 = 45 y sobran 3”.

Si aparece un error en el resultado, es importante analizar si es que el alumno no comprendió la situación planteada y, por ejemplo: suma o multiplica el 48 y el 5, o se trata de un error en el conteo o en el cálculo.

La situación siguiente tiene la intención de evaluar si los alumnos reconocen que para resolver divisiones pueden apoyarse en el resultado de las multiplicaciones. No se evalúa, en este caso, si ya han memorizado resultados de cálculos multiplicativos. Por eso, puede resolverse con la tabla pitagórica a la vista. Saber usar esta tabla para resolver divisiones es un avance importante en la construcción de estrategias de cálculo de división.

Resolvé los siguientes cálculos usando la tabla pitagórica, y anotá el resto en cada caso: 25 : 4 = ……… y sobra ……… 30 : 6 = ……… y sobra ……… 44 : 5 = ……… y sobra ……… 32 : 3 = ……… y sobra ……… 48 : 8 = ……… y sobra ………

Se puede observar si cada alumno:

• logra hallar en la tabla pitagórica las respuestas: encuentra el número que se acerca más al dividendo dado, y a partir de él, identifica el cociente y calcula el resto;
• encuentra qué multiplicación corresponde para cada división, pero no identifica cuál de los números involucrados es el cociente (por ejemplo, para 25 : 4 pone 24 como cociente, porque es el número que encuentra en la tabla del 4);
• logra resolver las divisiones que tienen resto 0 pero no las que tienen otro resto;
• elige la tabla pertinente (por ejemplo, la del 5 para 44 : 5) pero toma el número más cercano sin considerar que debe elegir el más cercano pero inferior. Por ejemplo, para 44 : 5 elige 9 porque 9 x 5 = 45.