El trabajo con la divisibilidad, que se inicia en el segundo ciclo, resulta una oportunidad para propiciar avances en los alumnos en relación con sus posibilidades de argumentar sobre la validez de procedimientos, resultados y afirmaciones. Permite un trabajo exploratorio potente sobre los modos de establecer la verdad en Matemática.

Al inicio, se espera que los niños resuelvan situaciones que involucren las nociones de múltiplo y divisor, múltiplo común y divisor común, usando estrategias diversas: uso de escalas, restas sucesivas, sumas sucesivas, etcétera. La intención es que a lo largo del segundo ciclo exploren e incorporen otras estrategias que ya se apoyen en cálculos multiplicativos.

Otro aspecto del trabajo a abordar en este ciclo –y que implica un avance importante respecto del primer ciclo–, se refiere a la posibilidad de descomponer multiplicativamente los números en dos o más factores. Se espera que estas descomposiciones constituyan herramientas para resolver otras situaciones y les permitan la búsqueda de divisores y múltiplos, anticipar el resultado de cálculos nuevos apoyándose en otros resultados conocidos, decidir la validez de afirmaciones y determinar restos y cocientes de cálculos sin necesidad de efectuar las divisiones.

Es posible también pensar, para este contenido, que los alumnos efectúen un avance desde la resolución de situaciones planteadas en contextos extramatemáticos que dan sentido a las nociones de múltiplo y divisor, a situaciones en contextos intramatemáticos en las que las relaciones entre los números en juego pasan a ser objeto de trabajo, enriqueciendo la conceptualización de las propiedades de la multiplicación y la división.

En el trabajo con los criterios de divisibilidad se espera que los alumnos puedan lograr aprendizajes de diverso tipo: por una parte, ensayar la construcción de alguno de los criterios a partir del análisis de los rasgos comunes entre múltiplos de un mismo número y su fundamentación; por otra parte, usar los criterios de divisibilidad para anticipar resultados sin resolver cálculos y producir argumentos acerca de la validez de ciertas afirmaciones.

a) Escribí un número de cuatro cifras en la calculadora de modo que al restarle el número 4 todas las veces que se pueda, se obtenga 0. Explicá cómo lo encontraste. b) Encontrá otros dos números que cumplan con esa condición. ¿Cuántos se pueden encontrar? Explicá por qué.

A partir de las resoluciones, se puede observar si el alumno:

• Encuentra una respuesta correcta para el punto a) por alguno de estos procedimientos:
  
  
  • Elige un número al azar y comprueba si es correcto por medio de sumas y/o restas.
  
  
  • Elige un número al azar, pero reconoce que puede usar la multiplicación o la división para comprobar si cumple la condición señalada.
  
  
  • Elige un número pertinente desde el inicio porque multiplica algún número por 4, o reconoce fácilmente algún múltiplo de 4 (por ejemplo, 4.000; 8.000; etcétera) y justifica apoyándose en la idea de múltiplo o divisor: “porque está en la tabla del 4”, “porque al dividir por 4 da resto 0”, “porque es múltiplo de 4”, “porque 300 × 4 da 1.200”, etc.


• En el caso del punto b) puede reconocer la posibilidad de encontrar infinitos números que cumplen esa condición, argumentando:
  
  
  • Que se puede ir sumando de a 4 indefinidamente.
  
  
  • Que se puede ir multiplicando a cualquier número por 4.
  
  
  • Afirmando que hay infinitos múltiplos de 4.

Es posible también que el niño reconozca la posibilidad de encontrar muchos números con esa condición, sin establecer que se trata de infinitas opciones.

Sabiendo que 14 × 18 = 252, encontrá la mayor cantidad de divisores que puedas del número 252.

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Identifica al 14 y al 18 como divisores de 252, porque reconoce que los factores de una multiplicación son divisores del producto.


• Identifica también al 252 y al 1 como divisores de 252.


• Encuentra además otros divisores a partir de descomponer multiplicativamente el 14 y el 18 y combina los factores que encuentra, o va transformando el cálculo 14 × 18 en otro usando dobles-mitades / triples-tercios (por ejemplo, usa 7 × 36, 28 × 9, etc.).


• Encuentra todos los divisores descomponiendo ambos números en sus factores primos y realiza todas las combinaciones posibles.

Puede ser que el niño encuentre divisores sin apoyarse en el cálculo de multiplicación dado, dividiendo al 252 por otros números. En este caso, da cuenta de reconocer a qué se llama divisor, pero no está pudiendo establecer la relación entre factores/producto con divisores/múltiplos.

Si 42 es múltiplo de 7, ¿podemos saber sin hacer ninguna cuenta si el doble de 42 es múltiplo de 7? Explicá cómo lo pensaste.

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Multiplica 42 por 2 y busca determinar si el resultado es múltiplo de 7, pero no logra producir un argumento que le permita anticipar la respuesta sin necesidad de hacer el cálculo efectivamente.


• Reconoce sin necesidad de efectuar el cálculo que el doble de 42 es necesariamente múltiplo de 7 y produce argumentos como:
  
  
  • 42 es 6 × 7 entonces 6 × 7 × 2 es múltiplo de 7 también (la explicación indica que el niño pone en juego implícitamente las propiedades de la multiplicación).
  
  
  • Si a un múltiplo de 7 lo multiplico por cualquier número, el resultado siempre es múltiplo de 7.