Divisibilidad


El trabajo con la divisibilidad, que se inicia en el segundo ciclo, resulta una oportunidad para propiciar avances en los alumnos en relación con sus posibilidades de argumentar sobre la validez de procedimientos, resultados y afirmaciones. Permite un trabajo exploratorio potente sobre los modos de establecer la verdad en Matemática.

Al inicio, se espera que los niños resuelvan situaciones que involucren las nociones de múltiplo y divisor, múltiplo común y divisor común, usando estrategias diversas: uso de escalas, restas sucesivas, sumas sucesivas, etcétera. La intención es que a lo largo del segundo ciclo exploren e incorporen otras estrategias que ya se apoyen en cálculos multiplicativos.

Otro aspecto del trabajo a abordar en este ciclo –y que implica un avance importante respecto del primer ciclo–, se refiere a la posibilidad de descomponer multiplicativamente los números en dos o más factores. Se espera que estas descomposiciones constituyan herramientas para resolver otras situaciones y les permitan la búsqueda de divisores y múltiplos, anticipar el resultado de cálculos nuevos apoyándose en otros resultados conocidos, decidir la validez de afirmaciones y determinar restos y cocientes de cálculos sin necesidad de efectuar las divisiones.

Es posible también pensar, para este contenido, que los alumnos efectúen un avance desde la resolución de situaciones planteadas en contextos extramatemáticos que dan sentido a las nociones de múltiplo y divisor, a situaciones en contextos intramatemáticos en las que las relaciones entre los números en juego pasan a ser objeto de trabajo, enriqueciendo la conceptualización de las propiedades de la multiplicación y la división.

En el trabajo con los criterios de divisibilidad se espera que los alumnos puedan lograr aprendizajes de diverso tipo: por una parte, ensayar la construcción de alguno de los criterios a partir del análisis de los rasgos comunes entre múltiplos de un mismo número y su fundamentación; por otra parte, usar los criterios de divisibilidad para anticipar resultados sin resolver cálculos y producir argumentos acerca de la validez de ciertas afirmaciones.

Progresiones de los aprendizajes a lo largo del segundo ciclo


Nivel I Nivel II Nivel III
Resuelve problemas que involucran el uso de múltiplos poniendo en juego estrategias diversas (escalas, sumas sucesivas, restas sucesivas, búsqueda en tablas de multiplicación, cálculo de división, etc.).

Por ejemplo:
Para un juego, en una pista de números que va desde el 0 al 200, se avanza con la ficha saltando siempre de la misma manera. Las fichas se colocan en el 0 y desde allí se comienza a avanzar. Escribí tres números mayores que 30 en los que caerá la ficha si se avanza saltando de a 3.
Resuelve problemas que involucran el uso de múltiplos de cualquier número, seleccionando la estrategia más conveniente según los números en juego.

Por ejemplo:
Escribí un número de cuatro cifras en la calculadora de modo que al restarle el número 4 todas las veces que se pueda, se obtenga 0.

  1. ¿Podés encontrar otros dos números posibles más? ¿Cuáles?

  2. ¿Cuántos números se pueden encontrar que cumplan con esa condición?
Analiza afirmaciones relativas a las nociones de múltiplo y divisor en situaciones particulares y argumenta sobre su validez, poniendo en juego implícitamente las propiedades de la multiplicación y la división. Por ejemplo, ante la situación “si 12 es múltiplo de 3, ¿podemos saber sin hacer la cuenta si el doble de 12 es múltiplo de 3?”, el alumno puede argumentar que sí porque el 12 se puede descomponer como 3 × 4 y 3 × 4 × 2 es múltiplo de 3.

En situaciones colectivas explora el análisis de afirmaciones generales relativas a las nociones de múltiplo y divisor y argumenta sobre su validez.

Por ejemplo:
Siempre que sumo dos múltiplos de 6, ¿obtengo un múltiplo de 6? ¿Por qué? ¿Y pasa lo mismo con cualquier múltiplo?
Resuelve problemas que involucran el uso de múltiplos comunes sin apelar a ningún mecanismo preestablecido y usando estrategias diversas.

Por ejemplo:
Juan y Ernesto están jugando a un juego con una pista numerada que empieza en el 0. Los dos mueven sus fichas hacia adelante. Juan tiene que dar saltos de 5 en 5, en cambio Ernesto los realiza de 7 en 7. ¿En qué números menores al 100 se van a encontrar?
Resuelve problemas que involucran el uso de divisores usando estrategias diversas (escalas, sumas sucesivas, restas sucesivas, tablas de multiplicación, divisiones, etc.).

Por ejemplo:
Un juego consiste en partir de un número de tres cifras y llegar a cero restando siempre un mismo número todas las veces que sea posible. Si el número de partida es 192, ¿cuál de los cuatro números siguientes permitirá llegar a 0?

4    3    5    10


Resuelve problemas que involucran el uso de múltiplos y divisores comunes.

Por ejemplo:
Se están armando bolsitas con golosinas. Se quieren llenar con 40 chupetines y 24 caramelos de modo que en todas las bolsitas haya la misma cantidad de cada tipo de golosina. ¿Cuántas bolsitas pueden armarse? ¿Hay una sola respuesta?
Analiza las informaciones que provee la escritura de un cálculo de multiplicación para decidir si un número es múltiplo o divisor de otro. Pone en juego descomposiciones multiplicativas y las relaciones entre múltiplo y divisor para fundamentar.

Por ejemplo:
Sabiendo que 12 × 18 = 216, sin hacer las cuentas, respondé las siguientes preguntas y explicá cómo las pensaste.

¿216 es múltiplo de 12?
¿216 es múltiplo de 4?
¿6 es divisor de 216?

En forma colectiva analiza la información que provee la escritura de un cálculo que involucra diferentes operaciones para decidir si un número es divisor de otro.

Por ejemplo:
¿15 × 17 × 4 + 3 es o no múltiplo de 4?
¿Y de 5? ¿Y de 3?
En situaciones descontextualizadas reconoce y explica la idea de múltiplo y múltiplo común. Utiliza cualquier definición posible.

Para múltiplo: “Está en la tabla de…”, “es un resultado de multiplicar por…”, “cuando lo divido por… no sobra nada”, “está en la escala del…”, “cuando cuento de… en... lo nombro”, etc.

Para múltiplo común: “Está en las dos tablas”, “está en la escala de… y también en la escala del…”, etc.
En situaciones descontextualizadas reconoce y define la noción de múltiplo y múltiplo común, divisor y divisor común y las relaciones entre ellos. Utiliza cualquier definición posible: “está en la tabla de…”, “es un resultado de multiplicar por…”, “cuando lo divido por… no sobra nada”, “está en la escala del…”, “cuando cuento de… en… lo nombro porque está en la tabla”, “como este número es múltiplo de…, entonces este es su divisor”, etc.

Descompone multiplicativamente un número de diversas maneras (incluyendo descomposiciones en más de dos factores).

Reconoce números primos y compuestos.
Utiliza los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10 para anticipar si una división tendrá resto cero o diferente de cero.

Utiliza los criterios de divisibilidad por 2, 4, 5 y 10 para calcular el resto de una división.

En situaciones colectivas, analiza y fundamenta los criterios de divisibilidad por 2, 4, 8, 5 y 10.

Actividades para relevar los aprendizajes


Se incluyen aquí algunos ejemplos de problemas que permiten recabar información sobre el estado de conocimientos de los alumnos en relación con la divisibilidad. Como se ha comentado ya anteriormente es importante atender tanto a las preguntas e intervenciones de los niños en su interacción en el aula como a su desempeño en la resolución individual de problemas.

Las situaciones que el docente seleccione para evaluar tienen que tener relación con el tipo de problemas que se haya trabajado durante la enseñanza. En el trabajo sobre este contenido cobra un rol muy relevante el aprendizaje de los modos de argumentar sobre la validez o no de afirmaciones, procedimientos o resultados. En ese sentido, resulta particularmente pertinente pedir a los niños que registren sus explicaciones.

a) Escribí un número de cuatro cifras en la calculadora de modo que al restarle el número 4 todas las veces que se pueda, se obtenga 0. Explicá cómo lo encontraste.
b) Encontrá otros dos números que cumplan con esa condición. ¿Cuántos se pueden encontrar? Explicá por qué.
A partir de las resoluciones, se puede observar si el alumno:

  • Encuentra una respuesta correcta para el punto a) por alguno de estos procedimientos:

    • Elige un número al azar y comprueba si es correcto por medio de sumas y/o restas.

    • Elige un número al azar, pero reconoce que puede usar la multiplicación o la división para comprobar si cumple la condición señalada.

    • Elige un número pertinente desde el inicio porque multiplica algún número por 4, o reconoce fácilmente algún múltiplo de 4 (por ejemplo, 4.000; 8.000; etcétera) y justifica apoyándose en la idea de múltiplo o divisor: “porque está en la tabla del 4”, “porque al dividir por 4 da resto 0”, “porque es múltiplo de 4”, “porque 300 × 4 da 1.200”, etc.

  • En el caso del punto b) puede reconocer la posibilidad de encontrar infinitos números que cumplen esa condición, argumentando:

    • Que se puede ir sumando de a 4 indefinidamente.

    • Que se puede ir multiplicando a cualquier número por 4.

    • Afirmando que hay infinitos múltiplos de 4.

Es posible también que el niño reconozca la posibilidad de encontrar muchos números con esa condición, sin establecer que se trata de infinitas opciones.
Sabiendo que 14 × 18 = 252, encontrá la mayor cantidad de divisores que puedas del número 252.
A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

  • Identifica al 14 y al 18 como divisores de 252, porque reconoce que los factores de una multiplicación son divisores del producto.

  • Identifica también al 252 y al 1 como divisores de 252.

  • Encuentra además otros divisores a partir de descomponer multiplicativamente el 14 y el 18 y combina los factores que encuentra, o va transformando el cálculo 14 × 18 en otro usando dobles-mitades / triples-tercios (por ejemplo, usa 7 × 36, 28 × 9, etc.).

  • Encuentra todos los divisores descomponiendo ambos números en sus factores primos y realiza todas las combinaciones posibles.

Puede ser que el niño encuentre divisores sin apoyarse en el cálculo de multiplicación dado, dividiendo al 252 por otros números. En este caso, da cuenta de reconocer a qué se llama divisor, pero no está pudiendo establecer la relación entre factores/producto con divisores/múltiplos.
Si 42 es múltiplo de 7, ¿podemos saber sin hacer ninguna cuenta si el doble de 42 es múltiplo de 7? Explicá cómo lo pensaste.
A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

  • Multiplica 42 por 2 y busca determinar si el resultado es múltiplo de 7, pero no logra producir un argumento que le permita anticipar la respuesta sin necesidad de hacer el cálculo efectivamente.

  • Reconoce sin necesidad de efectuar el cálculo que el doble de 42 es necesariamente múltiplo de 7 y produce argumentos como:

    • 42 es 6 × 7 entonces 6 × 7 × 2 es múltiplo de 7 también (la explicación indica que el niño pone en juego implícitamente las propiedades de la multiplicación).

    • Si a un múltiplo de 7 lo multiplico por cualquier número, el resultado siempre es múltiplo de 7.

Documentos curriculares para consultar


  • GCABA, Ministerio de Educación (2005) Grado de Aceleración 6º/7º. Matemática. Cuarto Tomo. Números y operaciones. Parte 2. Material para el docente. Proyecto Conformación de Grados de Aceleración.
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  • GCABA, Ministerio de Educación (2004) Grado de Aceleración 6º/7º. Matemática. Tercer Bimestre. Anexo. Material para el docente.
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  • GCABA, Ministerio de Educación (2004) Grado de Aceleración 6º/7º. Matemática. Tercer Bimestre. Divisibilidad y fracciones. Material para el alumno. Proyecto Conformación de Grados de Aceleración.
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  • GCABA, Ministerio de Educación e Innovación, SSPLINED, DGPLEDU, Gerencia Operativa de Currículum (inédito a octubre de 2018) Matemática. Divisibilidad. De las operaciones a la construcción de anticipaciones. Una ocasión para abordar la transición entre prácticas aritméticas y algebraicas. Séptimo grado. Serie Propuestas didácticas. Primaria (PDF interactivo).
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  • Ministerio de Educación de la Nación (2012) Matemática para todos en el Nivel Primario. Notas para la enseñanza. Vol. 1 Operaciones con números naturales, pp. 27-40.
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  • Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007) NAP. Matemática 5 y 6. Segundo ciclo EGB / Nivel Primario. Serie Cuadernos para el aula. 5º grado: pp. 84-90 y 6º grado: pp. 88-99.
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