El trabajo geométrico en el segundo ciclo avanza sobre tres aspectos. En primera instancia, es necesario volver sobre el estudio de las propiedades de figuras y cuerpos iniciado en el primer ciclo para profundizarlo. Por otra parte, se espera que los niños avancen en el estudio de algunas figuras y cuerpos que no han sido tratados todavía: circunferencias, círculos, rombos, paralelogramos, polígonos regulares, etcétera. Ligado a este trabajo, es necesario que amplíen el vocabulario específico que les permita identificar y describir figuras y cuerpos. Por último, se promueve que los niños aprendan que las propiedades de las formas geométricas son un medio para realizar afirmaciones o para argumentar a favor o en contra de ellas sin necesidad de constatación empírica. Es decir, se trata de que los niños puedan iniciarse en el modo de pensar propio de la geometría. Uno de los cambios más importantes en la actividad de este ciclo respecto del anterior refiere a los modos de validación, es decir, a la manera en que los alumnos darán cuenta de la validez de resultados y procedimientos que han utilizado para la resolución de problemas. La validación, aunque seguramente incluya algún componente empírico –por ejemplo la superposición de figuras–, involucra argumentos que ponen en juego propiedades de la figura y no únicamente del dibujo en particular. En este sentido, es importante aclarar que el alcance esperado para algunos aprendizajes referidos a la elaboración de conjeturas y argumentos que ponen en juego propiedades de las figuras corresponde a un nivel exploratorio, y se pondrán de manifiesto en situaciones de intercambio colectivo.

En este ciclo se retoma el uso de la regla y la escuadra –iniciado en el primer ciclo– y se incorpora el uso del compás, del transportador y de la regla no graduada. Si bien se espera que los niños adquieran cada vez mayor destreza en ese uso, la precisión tiene que estar al servicio de la resolución de problemas y no es un fin en sí mismo.

Para facilitar la lectura de las progresiones, se ha organizado su presentación en bloques según las formas geométricas consideradas:

• Circunferencias, círculos, ángulos y triángulos
• Cuadriláteros y polígonos regulares
• Cuerpos

Como ya se ha señalado para otros contenidos, la evolución en los niveles de progresión que a continuación se desarrollan, podrá aparecer bajo la condición de que los alumnos hayan participado de situaciones sostenidas y sistemáticas de enseñanza.

Escribí un mensaje sin dibujos para que otra persona pueda construir una figura igual a esta, sabiendo que el diámetro de la circunferencia más grande mide 6 cm.

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Elabora un texto que incluye algunas características del dibujo pero no todas. Por ejemplo, incluye la medida de los radios o diámetros de ambas circunferencias sin aclarar la relación entre ellas (por ejemplo, que los centros están sobre la misma recta).


• Elabora un texto que permite reconstruir una figura similar aunque con distintas medidas, pues tiene en cuenta las relaciones entre ambas circunferencias pero no incluye las medidas de los radios o diámetros.


• Elabora un texto que permite reconstruir la figura teniendo en cuenta las relaciones que la caracterizan: los diámetros o los radios de ambas circunferencias y la ubicación de los centros.

Construí, si es posible, dos triángulos distintos que tengan un lado de 3 cm y otro lado de 4 cm.

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Construye un solo triángulo. Puede suceder que incluya una explicación y afirme que no hay otro posible o que no puede construirlo. Para poder construir más de uno, el alumno debería considerar que los ángulos pueden variar y producir así otros triángulos con esas medidas de lados. Como la consigna no hace mención a los ángulos, algunos niños no advierten que pueden “manipular” esa medida.


• Construye dos triángulos congruentes pero ubicados en diferentes posiciones. En estos casos, no está teniendo en cuenta que un mismo triángulo puede estar ubicado en distintas posiciones. La posición es una propiedad del dibujo y no de la figura.


• Logra construir ambos triángulos con un lado de 3 cm y otro de 4 cm (o medidas aproximadas).

Este dibujo está conformado por un paralelogramo ABCD y por un triángulo rectángulo ADE. Sin usar el transportador, determiná la medida de los ángulos B y C. Explicá cómo lo pensaste.

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Da una respuesta apoyándose en la percepción (o en la medida efectiva) sin poner en juego relaciones y propiedades de los ángulos interiores.


• Da una respuesta correcta, pero no logra justificar cómo llegó al resultado ya que la explicación requiere poner en palabras muchas relaciones.


• Logra identificar solamente que la medida del otro ángulo del triángulo es 30°, pero no logra usar esa información para determinar la medida de los ángulos pedidos:


• Logra identificar que el ángulo C mide 120° y el ángulo B mide 60°, poniendo en juego las propiedades de los ángulos interiores de triángulos y/o paralelogramos en sus explicaciones. Por ejemplo:
  
  
  • Como el ángulo A más 60° tiene que dar 180°, entonces A mide 120°. Entonces C mide también 120°. Como la suma de los ángulos interiores del paralelogramo es 360°, entonces B + D es igual a 360° – 240°, por lo tanto B y D miden 60° cada uno.
  
  
  • Como la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°, el otro ángulo del triángulo es igual a 180° menos 150°, o sea 30°. Por lo tanto D es igual a 90° menos 30°. D es igual a B, por lo tanto B también mide 60°.

Diferentes actividades pueden proponerse para que los alumnos se apropien progresivamente de las propiedades de las figuras y cuerpos geométricos: copiados, dictados, construcciones, actividades que permitan reconocer un cuerpo o una figura entre otros a partir de sus propiedades, identificación de desarrollos planos, etcétera. Sin embargo, debe advertirse que estas actividades no son un objeto de enseñanza en sí mismas, son herramientas posibles para enseñar las propiedades de determinadas figuras geométricas. Por ejemplo, en una actividad de construcción de un triángulo, el propósito no es que los alumnos logren “excelentes dibujos”, sino que durante la actividad y en el análisis posterior puedan, a partir de lo realizado, avanzar en el conocimiento de las propiedades que se pusieron en juego durante esa construcción.

Algunas consideraciones importantes para tener en cuenta a la hora de decidir intervenciones de enseñanza:

• Hay un asunto que recorre el trabajo geométrico en la escuela primaria y en particular el segundo ciclo: la diferencia entre dibujo y figura. La figura es un objeto ideal, es un objeto descripto por el texto que la define, es una idea que se representa por medio de un dibujo. El dibujo no tiene las propiedades del objeto que representa, justamente porque es una representación, y a la vez, el dibujo tiene propiedades que no son de la figura (por ejemplo, su posición en la hoja). En un problema geométrico la función que cumplen los dibujos en su resolución no es la de permitir arribar a la respuesta por simple constatación sensorial, aunque ella pueda jugar algún papel en el trabajo. No alcanza con ver un dibujo para comprender las propiedades que definen a una figura, y al mismo tiempo, a medida que evolucionan los conocimientos geométricos de los alumnos, cada vez se vuelven más observables en ese dibujo las propiedades de la figura que representa. Algo así como “se ve más cuando se sabe más”. Por eso es importante que el trabajo de análisis de las figuras no quede ligado a la percepción.


• Los niños deben reconocer que en Geometría la orientación de una figura no constituye un atributo esencial. Por eso, es necesario que, en diferentes actividades, los dibujos de las figuras geométricas estén ubicadas en distintas posiciones y orientaciones.
  
  
  
  
  Por otra parte, es habitual que se trabaje siempre, o casi siempre, en los libros de texto o en el aula, con un mismo tipo de dibujo, que se termina transformando en una figura prototípica. Por ejemplo, en el caso del rectángulo, los dibujos que se presentan mantienen una proporción similar entre su lado más corto y su lado más largo. En cuanto al paralelogramo, en general los dibujos que se usan para representarlos tienen ángulos de aproximadamente 45° y 135°.
  
  
  
  
  Como consecuencia no buscada, los alumnos suelen construir una “definición” que permanece implícita y queda ligada a esas características del dibujo. Por eso será necesario que, en las propuestas de actividades y en los carteles del aula, aparezcan dibujos que tengan otras relaciones entre sus lados y otras medidas de ángulos.
  
  
  


• No se trata de explicar esta diferencia entre dibujo y figura a los alumnos, sino de que se constituya en un marco que oriente las intervenciones del docente durante el trabajo en Geometría. Hay varias situaciones de enseñanza en las que esta distinción se pone en juego. Por ejemplo, cuando los alumnos deben construir triángulos a partir de la medida de sus tres lados, con el objetivo de analizar luego que se puede construir uno solo, los niños suelen afirmar que se pueden construir dos triángulos, sin advertir que se trata de la misma figura ubicada en posiciones diferentes.
  
  
  
  
  Frente a esta situación, es posible intervenir para hacer evidente a los alumnos que si se rotan, el triángulo “de arriba” coincide exactamente con “el de abajo”. Habrá que explicitar que la posición del dibujo de un triángulo en la hoja puede variar, pero sigue siendo el mismo triángulo, porque si los lados de un triángulo tienen la misma longitud que los lados de otro, ambos coinciden al superponerlos y por lo tanto son iguales. Son dos dibujos del mismo triángulo.


• Hay otro tipo de situaciones donde esta distinción también se pone en juego: cuando los niños se basan en propiedades del dibujo para afirmar la validez de los resultados obtenidos. Por ejemplo, si ya se ha estudiado que los triángulos equiláteros tienen todos sus lados y sus ángulos iguales, y se pregunta entonces cuál será la medida de los ángulos, algunos alumnos podrían afirmar que en un triángulo equilátero todos los ángulos miden 60° porque “los medí y me dio eso” o, que en un triángulo equilátero los ángulos no miden lo mismo porque “usé el transportador y me dio uno de 55° y un poco, y el otro de 62°”. El docente, puede intervenir para que los niños se apoyen en propiedades ya estudiadas para producir explicaciones. Podría preguntar: Y si se tratara de un triángulo equilátero, pero más grande que ese que dibujaste, ¿estás seguro de que sus ángulos también medirán 60°? ¿Y en otro más pequeño? ¿Tenés que medirlos a todos o hay una manera de saber sin medir uno por uno? La intención de estas preguntas es que los alumnos abandonen el intento de justificar a partir de la medida, para apoyarse en la propiedad de la suma de los ángulos interiores, ya trabajada. Es probable que los niños no recurran inmediatamente a este apoyo. Será necesario que el docente haga esa referencia: ¿Te acordás que anotamos en la carpeta algo referido a los ángulos de todos los triángulos? Buscá lo que anotamos que te va a servir para pensar sobre esto.


• Si bien, como se señaló, es importante alentar a los niños a buscar explicaciones que se apoyen en propiedades y en un proceso deductivo, el dibujo cumple un rol importante. Realizar un esquema muchas veces permite empezar a buscar relaciones, a armar conjeturas, a reconocer algunas propiedades que ya se saben. En definitiva, puede ser un comienzo para avanzar hacia la deducción de lo que se quiere averiguar.
  
  Por ejemplo, a partir de realizar y analizar construcciones de triángulos dadas distintas medidas de ángulos (con dos ángulos de 90° o con uno de 60° y otro de 120°, etcétera) podrá conjeturarse que no con cualquier medida de ángulo es posible formar un triángulo. Esta primera conjetura necesitará luego ser completada con una demostración ofrecida, en este caso, por el maestro, que permitirá pasar del “no me sale ese triángulo” a “es imposible que un triángulo tenga esas medidas de ángulos”.
  
  No siempre es fácil decidir qué dibujo puede servir de apoyo para resolver un problema. Por ejemplo, en una situación donde los niños están discutiendo si en todos los cuadriláteros las diagonales son iguales, puede suceder que un alumno dibuje un rectángulo, trace las diagonales y sostenga entonces que esa frase es cierta. En ese caso se apoya en la información que da un dibujo en particular y lo generaliza a todos los cuadriláteros. En esa misma situación, el docente puede pedir que se dibujen entonces otros cuadriláteros o incluso proveer el dibujo de otros cuadriláteros no rectángulos (por ejemplo, un trapecio, un trapezoide, un romboide, etcétera) para analizar esa misma propiedad. Así estará interviniendo para evitar que algo que sucede en un dibujo que representa a un cuadrilátero particular se generalice a todos los cuadriláteros. Por eso, cuando se recurre al dibujo como apoyo para pensar sobre alguna propiedad, es importante considerar y decidir qué figura conviene dibujar.


• Como se explicó antes, hay algunas situaciones de enseñanza en las que se pide a los alumnos que realicen construcciones que no son posibles de realizar, por ejemplo, construir un triángulo con dos ángulos de 90°. La intención es generar discusiones en el aula que permitan que los niños pasen del “no me sale” al “no es posible”, produciendo explicaciones que se apoyan en las propiedades de las figuras. Por ejemplo, si se pide a los alumnos que construyan un paralelogramo que tenga un lado de 4 cm, otro de 6 cm y la diagonal de 11 cm, es posible que varios alumnos intenten realizar la construcción y no logren hacerla, o que otros “fuercen” los datos para “unir” los lados y la diagonal buscando cumplir con la tarea pedida por el docente. En la discusión colectiva se podría intervenir preguntando: Algunos dicen que no lo pueden armar y otros finalmente dicen que lo construyeron. ¿Se puede o no se puede? ¿Cómo podemos estar seguros de si es posible o no armar ese paralelogramo? Probemos armar primero el triángulo que se forma con la diagonal y los lados para luego completar el paralelogramo. ¿Se puede? ¿Se acuerdan que hace un tiempo discutimos sobre los lados de un triángulo? Fíjense si lo encuentran en la carpeta. Se espera que en la conversación circulen ideas como: No se puede porque con dos lados y la diagonal del paralelogramo te queda armado un triángulo y en un triángulo la suma de dos lados debe dar más que el tercero. Seis más cuatro es diez, y eso es menor que el tercer lado de once. Se trata, entonces, de volver a apelar a una propiedad conocida (la propiedad triangular) para apoyar allí la imposibilidad de esa construcción.


• En el trabajo geométrico unas propiedades se deducen a partir de otras. Por eso, en todas las demostraciones que se realicen con los alumnos, hay ciertas propiedades que se toman como verdaderas y se usan para arribar a otras nuevas, sin necesidad de demostrarlas. Por ejemplo, cuando se trata de demostrar que en un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180°, es posible apoyarse primero en que en un triángulo rectángulo la suma de sus ángulos es 180° a partir de aceptar como verdadero que la suma de los ángulos interiores de un rectángulo es 360° (porque así lo señala su definición) y su diagonal lo divide en dos triángulos iguales (lo que siempre resulta evidente para los niños). Por lo tanto, en cada uno de ellos la suma de sus ángulos interiores es 180°. ¿Cuáles son esas propiedades que se aceptan como verdaderas con los alumnos para elaborar argumentos a partir de ellas? En algunos casos, serán las relaciones que ya fueron demostradas anteriormente (por ejemplo, la suma de los ángulos interiores del triángulo es apoyo para deducir cuál es la suma de los ángulos interiores de diferentes polígonos). En otros casos, serán aquellas propiedades que “tienen cierto grado de evidencia”, como que la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos iguales. En otros, será porque esa propiedad constituye la definición de la figura con la que se está tratando, por ejemplo, en un cuadrado todos los ángulos son rectos.
  
  No siempre es posible que los alumnos elaboren solos, en la escuela primaria, las demostraciones. En muchas ocasiones, será necesario que las explicaciones las dé el docente, luego de un trabajo de exploración y construcción de conjeturas por parte del alumno.


• En relación con las actividades que implican construcciones de figuras, hay que tener en cuenta que no es posible con una sola construcción trabajar todas sus propiedades. Distintas construcciones movilizan diferentes propiedades según los datos que se den, los instrumentos que se permita utilizar y el tipo de papel (cuadriculado o blanco) que se utilice. Por ejemplo, si se pide construir un cuadrado a partir de una de sus diagonales, usando solamente regla no graduada y compás, será necesario tener en cuenta que las diagonales son iguales, se cortan en el punto medio y son perpendiculares. En cambio, si se pide construir un cuadrado a partir de un lado, con regla y transportador, hay que tener en cuenta que los lados son paralelos e iguales y sus ángulos son rectos.


• Cuando algunos niños evidencian mayores dificultades para construir con éxito figuras, el docente los puede ayudar organizando en conjunto los pasos que hay que seguir para construir la figura pedida. Por ejemplo, mediante preguntas orientadoras como: ¿Por dónde podés empezar a construir esta figura? ¿Qué conviene dibujar primero? ¿Te parece que empecemos por este lado? También es posible que sea el docente quien inicie la construcción y le proponga al alumno que la continúe (trazándole uno de los lados o la circunferencia que sirva de apoyo, etcétera); también puede ser posible que el niño dicte lo que es necesario hacer, pero que sea el docente quien realice esa construcción.


• Como ya se señaló, hay otras actividades, además de las que implican construcciones, para favorecer que los niños elaboren y pongan en juego conocimientos geométricos. Por ejemplo, aquellas situaciones en las que los alumnos deben apelar a relaciones para anticipar medidas (de lados o ángulos) sin recurrir a la experiencia de medir. En este tipo de actividades deben apoyarse en algunas propiedades para hacer anticipaciones, poniendo en juego un modo de pensar propio de la geometría. Por ejemplo:
  
  

  En el rectángulo ABCD se ha marcado el punto medio de BD llamándolo W. Calculen el valor de todos los ángulos cuya medida se puede deducir a partir de los datos dados.

  
  En estas situaciones, cuando el alumno no logra por sí solo establecer relaciones, el docente puede intervenir de diferentes maneras.


• Puede realizar preguntas que le permitan al niño identificar algunos datos que ya se conocen, aunque no están explicitados, para que tomen conciencia de que hay información disponible, aunque no esté destacada en el dibujo. En este caso, por ejemplo, se podría preguntar: Si nos informan que es un rectángulo, ¿qué sabemos de los ángulos A, B, C y D? Además del rectángulo, ¿hay otras figuras ahí que nos pueden ayudar? ¿Qué figuras hay? Si W es el punto medio de BD, ¿qué sabemos de los lados BW y WD?


• Otras intervenciones posibles son las que apuntan a recuperar algunos conocimientos ya trabajados, que son necesarios para la resolución. Por ejemplo: Fijate en las conclusiones que anotamos en la carpeta sobre los ángulos de los triángulos. Eso te va a dar pistas para saber cómo seguir. El otro día trabajamos sobre los triángulos isósceles. Algunas de las cuestiones que anotamos te van a servir ahora.


• En este ciclo se retoma el uso de la regla y la escuadra –iniciado en el primer ciclo– y se incorpora el compás, el transportador y la regla no graduada. Si bien un cierto dominio en el uso de los instrumentos geométricos es necesario para el abordaje de muchos problemas, no es ese un objeto de estudio de la geometría. El trabajo con estos instrumentos es un recurso valioso para propiciar el estudio de ciertas propiedades de las figuras, que se ponen en evidencia cuando se las quiere construir a partir de alguna información. Por eso es necesario enseñar a utilizarlos, pero sin perder de vista cuál es el propósito.


• El uso del transportador es costoso, en general, para los alumnos. Antes de enseñar a utilizarlo, es conveniente que en la clase se haya discutido sobre las amplitudes de los ángulos, la independencia entre el largo de los lados y la amplitud del ángulo y la medición de ángulos usando el ángulo recto como unidad de medida (decidiendo si un ángulo resulta mayor o menor que un ángulo recto). Al presentar el transportador es importante explicar algunas cuestiones centrales para su uso: El centro del transportador debe coincidir con el vértice del ángulo y uno de sus lados debe pasar por el cero. El docente puede realizar preguntas que guíen la exploración de este instrumento: ¿Qué números están marcados? ¿Cuántas rayitas hay entremedio de dos números seguidos? ¿Cuántos grados representa cada marquita?, etc.

Para aprender a usar el transportador, se puede comenzar con actividades en las que este instrumento ya esté dibujado y por lo tanto no se exija que el niño decida cómo ubicarlo: entonces solo tendrá que identificar cuál es la medida que corresponde al ángulo dibujado. Por ejemplo:



¿Qué medidas está indicando el transportador en cada caso? Escribilas debajo de cada uno.


En esta actividad, anticipar si el ángulo dibujado es mayor o menor que un recto permitirá decidir cuál de las dos medidas es la que corresponde (140° o 40° en el primer caso y 70° o 110° en el segundo).


• El trabajo con el programa de geometría dinámica Geogebra puede ser otra oportunidad para profundizar el análisis de las propiedades de las figuras geométricas, que complementa el trabajo que se realiza con lápiz y papel, pero sin sustituirlo.
  
  Este programa u otros similares permiten, a diferencia del lápiz y el papel, que los alumnos “manipulen” las figuras que construyen, que las desplacen y las arrastren. Las propiedades geométricas de la figura pueden ser leídas como las que se conservan a través de desplazamientos dado que las construcciones dejan de ser válidas si, al ser desplazadas, pierden sus características. Es necesario que el docente comunique a los niños que una construcción, en este programa de computadora, será aceptada como válida si, al mover cualquiera de los elementos, se conservan las propiedades del objeto construido. Se apunta, entonces, a que los alumnos construyan la idea de que una figura se debería poder desplazar, agrandar, achicar, rotar, etcétera, pero sin perderse las características y propiedades que definen el objeto construido. Este punto, característico del programa, condiciona fuertemente las decisiones que deben tomar los niños al momento de planificar una construcción.
  
  Las intervenciones del docente son centrales para generar la explicitación de las propiedades de las figuras. Por ejemplo, si se pide que los alumnos construyan un cuadrado de modo que al mover cualquiera de sus vértices siga siendo un cuadrado, la discusión puede girar en torno a la comparación de distintas construcciones. Se podrá analizar por qué en algunas de las construcciones el cuadrado dejó de ser cuadrado al mover sus vértices y por qué, en otras, no sucedió lo mismo. Se podría concluir que, en algunos casos, se deformó porque las rectas dejaron de ser paralelas y perpendiculares o porque los ángulos dejaron de ser rectos y los lados iguales. El docente podría preguntar: ¿Cuáles son las propiedades del cuadrado que se mantienen y cuáles no? ¿Cómo pueden hacerse las construcciones de modo que no deje de ser cuadrado al moverlo? ¿Cómo podemos hacer para que se conserven las propiedades del cuadrado: los lados iguales y los ángulos rectos usando alguna herramienta de las que están en el programa? Si no apareciera de parte de ningún alumno una construcción que tuviese en cuenta el paralelismo y la perpendicularidad, es decir, una construcción tal que al mover cualquiera de sus vértices siguiera siendo un cuadrado, el docente podría plantear: ¿Sería posible dibujar un cuadrado usando las herramientas de rectas perpendiculares y/o paralelas? Háganlo y luego muevan uno de sus vértices. ¿Sigue siendo un cuadrado?
  
  Para estos momentos de puesta en común es conveniente, en la medida de lo posible, contar con una pantalla que permita discutir en conjunto, observando qué sucede al desplazar las figuras, al usar determinados comandos, etc.
  
  Por último, es importante advertir que al inicio del trabajo con Geogebra resulta necesario proponer algunas actividades que permitan a los alumnos la exploración de los comandos del programa. De todas maneras, es a partir de su uso que se familiarizarán cada vez más con las diferentes funciones.

• GCABA, Ministerio de Educación (1998) Matemática. Documento de trabajo n° 5. La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo.
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• GCABA, Ministerio de Educación, Gerencia Operativa de Inclusión Educativa (2005 y 2014) Grado de Aceleración 6º / 7°. Matemática. Tercer tomo: Geometría. Material para el docente. Proyecto Conformación de Grados de Aceleración.
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• GCABA, Ministerio de Educación, Gerencia Operativa de Inclusión Educativa (2014) Grado de Aceleración 4º / 5°. Matemática. Segundo bimestre / Tercer bimestre. Material para el alumno. Proyecto Conformación de Grados de Aceleración
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• GCABA, Ministerio de Educación, Gerencia Operativa de Inclusión Educativa (2014) Grado de Aceleración 4º / 5°. Matemática. Tercer bimestre / Cuarto bimestre. Material para el alumno. Proyecto Conformación de Grados de Aceleración.
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• GCABA, Secretaría de Educación y Cultura, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currículum (1993) Taller de resolución de problemas. Matemática 3º ciclo.
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• GCABA, Secretaría de Educación, EdeC (Escuela de Capacitación), CePA (Centro de Pedagogías de Anticipación)(2003) Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo. Diálogos de la capacitación.
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• GCABA, Secretaría de Educación, EdeC (Escuela de Capacitación), CePA (Centro de Pedagogías de Anticipación)(2007) Estudiar Geometría y Pensar su enseñanza. Textos para curso a distancia.
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• Gobierno de la Provincia de Buenos Aires, Dirección General de Cultura y Educación, Subsecretaría de Educación, Dirección Provincial de Educación de Gestión Estatal, Dirección de Educación General Básica, Gabinete Pedagógico Curricular, Matemática (2001) Orientaciones didácticas para la enseñanza de la geometría en EGB. Documento Nº 3. La Plata.
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• Gobierno de la Provincia de Buenos Aires, Dirección General de Cultura y Educación, Subsecretaría de Educación, Dirección Provincial de Educación Primaria, Dirección de Gestión Curricular (2007) Matemática N° 5 A. Operaciones con números naturales. 2ª parte. Propuestas para alumnos de 3° y 4° año. Material para el docente. Serie Curricular. La Plata.
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• Gobierno de la Provincia de Buenos Aires, Dirección General de Cultura y Educación, Subsecretaría de Educación, Dirección Provincial de Educación Primaria, Dirección de Gestión Curricular (2007) Matemática N° 4. Números Racionales y Geometría. Algunas propuestas para alumnos de 6º año. Serie Curricular. La Plata.
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• Ministerio de Educación de la Nación (2014) Matemática para todos en el Nivel Primario. Notas para la enseñanza 2. Operaciones con fracciones y números decimales. Propiedades de las figuras geométricas, 1ª ed., pp. 65-141.
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• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007) NAP. Matemática 4, 5 y 6. Segundo ciclo EGB / Nivel Primario. Serie Cuadernos para el aula. 4º grado: pp. 134-155, 5º grado: pp. 137-153 y 6º grado: pp. 136-152.
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• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2012) Leer, escribir y argumentar. Matemática. Último año primaria/Inicio secundaria. Cuadernos para el aula. Docentes. NAP. Núcleos de Aprendizajes Prioritarios.
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