Las progresiones sobre estos contenidos se han organizado en dos tablas: una para la resolución de diversos tipos de problemas y otra para estrategias de cálculo.

La sección referida a la resolución de diversos tipos de problemas comprende los diferentes sentidos de cada operación. Para la multiplicación, en primer lugar, se propone retomar los problemas con los que se trabajó en el primer ciclo: situaciones de proporcionalidad (presentadas con enunciados o con tablas) y problemas que implican determinar la cantidad total de elementos ordenados en una disposición rectangular a partir de conocer la cantidad de filas y de columnas. Cobrarán ahora más presencia los problemas que exigen averiguar la cantidad de combinaciones posibles. En cuanto a la división, se retoman las situaciones de repartos y particiones y se propone profundizar el análisis de lo que sucede con el resto. Se presentan además otros problemas más complejos, en los que no hay un reparto o una partición evidentes, que amplían el sentido de la división. Finalmente se incluye el trabajo con situaciones que implican el análisis de las relaciones en la división entera: las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.

Tanto en el trabajo con división como con multiplicación, el propósito es que los alumnos avancen en su posibilidad de reconocer y poner en juego las relaciones de proporcionalidad para resolver problemas. El avance supone que los niños puedan pasar de un uso implícito de sus propiedades a poder explicitarlas y reconocer qué situaciones implican relaciones de proporcionalidad y cuáles no. Se espera también que los niños sean capaces de resolver problemas en casos particulares de proporcionalidad como las escalas y el porcentaje. Por otro lado, la progresión que se plantea para el trabajo con la proporcionalidad en el campo de los números naturales debe ser complementada con el trabajo en el campo de los números racionales. Se espera finalmente que los niños puedan abordar problemas con varios pasos que incluyan las cuatro operaciones.

Resolver problemas supone gran complejidad para los alumnos ya que demanda la articulación de diversas capacidades. Implica construir mentalmente una representación de la situación planteada en el enunciado, reconocer una serie de datos e identificar preguntas que exigen reflexión y toma de decisiones. Para aprender a resolver problemas los alumnos deben tener oportunidades reiteradas de enfrentar diversos tipos de situaciones que requieran analizar cuáles son los datos pertinentes o necesarios, cuál es la pregunta que se plantea, si es posible encontrar una solución, más de una o si no la hay, etc.

El avance de los alumnos en las estrategias de cálculo implica continuar con el trabajo sobre el uso y memorización del repertorio multiplicativo construido en el primer ciclo. Involucra a su vez la profundización del trabajo con el cálculo mental exacto y aproximado: se espera que los alumnos pongan en juego la descomposición de cantidades usando sumas y restas y también multiplicaciones. Se avanza desde el uso “intuitivo” de relaciones y propiedades de la multiplicación y la división para resolver cálculos a su sistematización y formulación. A lo largo del segundo ciclo, se propone la construcción y el dominio de los algoritmos de multiplicación y división, avanzando en las posibilidades de analizar su funcionamiento y las propiedades implicadas en ellos. Se incluye el trabajo sobre cálculos estimativos como una herramienta fértil para anticipar resultados y controlarlos. Se espera que los niños sean capaces de discernir frente a un problema si es necesario dar una respuesta exacta o aproximada y en función de ello seleccionar la modalidad de cálculo más adecuada.

Como en el caso del trabajo con suma y resta, aquí también es necesario aclarar que la distinción entre la resolución de diversos tipos de problemas y las estrategias de cálculo se realiza solo con el fin de organizar la presentación de la información sobre la progresión esperable, pero son dos asuntos que están completamente relacionados en la enseñanza. Ambos aspectos deben abordarse de manera simultánea a la hora de programar el trabajo en el aula. Las estrategias de cálculo utilizadas por los alumnos se relacionan con el tipo de problema presentado y no avanzan de manera paralela para cada tipo de situación. Por otra parte, el trabajo con los distintos sentidos de las operaciones permite analizar y establecer diferentes relaciones entre procedimientos de cálculo posible.

El completamiento de una tabla con valores proporcionales puede ser realizado correctamente a partir de diversos procedimientos. Las estrategias que un niño utilice dependerán de los datos presentes y de los conocimientos que tenga disponibles. Luego de haber trabajado con las propiedades de la proporcionalidad en el aula, es deseable que el alumno pueda ponerlas en juego a partir del análisis que hace de los valores numéricos presentes en una situación problemática. Usar el valor correspondiente a la unidad es una estrategia siempre válida en las relaciones de proporcionalidad, pero hay otras opciones que, según los datos en juego, pueden resultar más eficientes. Es necesario subrayar que los valores que se presentan (tanto aquellos dados como información, como aquellos que deben completarse) pueden variar para promover diferentes tipos de relaciones, lo que implica diferentes niveles de complejidad para los niños. Por ejemplo, podría presentarse una tabla en la que no se indique el valor unitario como en la situación que se presenta a continuación, o una tabla en que sí se lo haga; o una donde no se explicite el valor de la unidad pero se pide que el alumno lo encuentre, etcétera. La relación entre los valores numéricos presentes –por ejemplo, si son dobles o triples entre sí– es otra variable a considerar.

Completá la siguiente tabla teniendo en cuenta que en todas las bandejas se puede colocar la misma cantidad de medialunas. Explicá lo que pensaste para cada casilla. Cantidad de bandejas 4 8 12 16 20 Cantidad de medialunas 128 256

A partir de las resoluciones, se puede observar si el alumno:

• Logra completar la tabla buscando el valor unitario y usándolo para todos los casos.


• Usa la relación “dobles y mitades” para completar los datos en los que esto es posible. Por ejemplo, puede completar el valor correspondiente a 8 calculando la mitad de 128, luego el valor de 4 usando la mitad del valor de 8 o la cuarta parte del valor de 16 y el que le corresponde a 256, usando el doble de 16.


• Logra completar el valor correspondiente a 20, apoyándose en la suma de los valores de 12 y de 8 ya averiguados.


• Completa usando propiedades de la proporcionalidad solo en el caso del conjunto “de llegada”, pero no reconoce que 256 es el doble de 128, y para ese valor usa otro procedimiento, por ejemplo, divide a 256 por el valor unitario.

Todos los procedimientos mencionados son posibles y correctos, y resulta importante estar atento a esas diversas resoluciones. En el aula podrán aparecer algunas o todas y el intercambio sobre las que aparezcan y su justificación enriquecen el repertorio de procedimientos a los que los alumnos pueden recurrir.

Si aparecen errores en los resultados obtenidos para cada valor, es importante analizar si se trata de un error de cálculo o si es que se ha puesto en juego una relación errónea. Por ejemplo, como de 16 a 20 la variable aumenta en 4, puede ser que algún alumno a 128 le aumente 4.

Es posible que algunos niños no expliquen sus procedimientos, aunque esté expresamente pedido en la consigna. En tal caso el docente oralmente puede volver a pedir esa explicación, ya que es importante considerar los procedimientos puestos en juego y no solamente si los alumnos logran o no encontrar el resultado.

Agustín colecciona muñequitos para armar equipos de fútbol de 11 jugadores. Si ya tiene 405 muñequitos: a) ¿Cuántos equipos completos puede armar? b) ¿Cuántos muñequitos le faltan para completar un equipo más?

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Para la pregunta a) comprende que se trata de un problema que exige partir el 405 en grupos de a 11. Esto no implica necesariamente que lo resuelva por medio de una división, el niño puede encontrar la respuesta por alguno de estos procedimientos:
  
  
  • Sumando o restando de a 11.
  
  
  • Usando multiplicaciones: busca multiplicaciones que por 11 lleguen lo más próximo posible a 405. Es importante observar si hace esa búsqueda tomando valores de referencia útiles según los números en juego, por ejemplo, parte de que 11 × 10 es 110, u 11 × 20 es 220 y busca desde allí, o si empieza buscando desde números pequeños sin esa consideración.
  
  
  • Usando cualquier algoritmo de la división. En este caso es importante observar la cantidad de pasos intermedios que necesita realizar: si inicia usando multiplicaciones por 10 o advierte que puede multiplicar directamente por 30.
  
  Si aparece un error en la respuesta, es importante analizar si es que el alumno no comprendió la situación planteada y elige una operación no pertinente para este problema (por ejemplo, multiplicar ambos números del enunciado) o si se trata de un error en el cálculo realizado.


• Para la pregunta b):
  
  
  • No advierte que la respuesta implica considerar el resto y da cualquier otra respuesta, por ejemplo 11, que es el divisor, etc.
  
  
  • Advierte que la pregunta implica considerar el resto de la división, pero no puede determinar que, en este caso en particular, se trata de considerar la diferencia entre el resto y el divisor, y da como respuesta directamente el resto (9).
  
  
  • Advierte que la pregunta implica considerar la diferencia entre el resto y el divisor y da como respuesta 2.

Resolvé la siguiente situación usando la calculadora y escribí todos los cálculos que realices. Sebastián separó de su sueldo $1.700 pesos para los gastos de almuerzo. El menú del bar de al lado de la oficina tiene almuerzos por $85. ¿Para cuántos días le alcanza ese dinero?

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Comprende que se trata de un problema que exige partir el 1.700 en grupos de a 85. Esto no implica necesariamente que lo resuelva por medio de una división, sino que el niño puede encontrar la respuesta por alguno de estos procedimientos:
  
  
  • Sumando o restando de a 85, o múltiplos de 85 hasta llegar a 1.700 o a 0 según el procedimiento.
  
  
  • Usando multiplicaciones: busca multiplicaciones por 85 que lleguen a 1.700. Es importante observar si hace esa búsqueda tomando valores de referencia útiles según los números en juego, por ejemplo, parte de que 85 × 10 es 850 y a partir de allí prueba con la calculadora otras multiplicaciones. O recurre a multiplicaciones probando con números más pequeños sin esa consideración.
  
  
  • Utilizando el cálculo de división.
  
  Si no logra encontrar la respuesta correcta, es importante analizar si se trata de un error en el cálculo elegido o de una dificultad al interpretar los resultados obtenidos. Por ejemplo, si usa la suma o la resta tiene que considerar además, para responder, que la respuesta está en la cantidad de veces que sumó o restó el 85. Es necesario entonces que haga ese control al realizar el cálculo.

Transformá cada uno de estos cálculos en otro equivalente pero más sencillo de resolver, usando las propiedades de la multiplicación. Resolvelo y aclará cuál es la propiedad o las propiedades que utilizás en cada caso. a) 102 × 98 b) (384 × 5) × 2 c) 25 × 134 × 4

A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

• Resuelve los tres casos o alguno de ellos de manera correcta, aunque no logre explicitar cuál es la propiedad que pone en juego en cada caso, o lo hace de manera incorrecta.


• Resuelve de manera correcta, aunque las transformaciones numéricas que pone en juego no producen cálculos sencillos. Por ejemplo, en el punto c), advertir que 25 × 4 es 100 y que luego multiplicar 100 por 134 resulta sencillo. No es lo mismo que multiplicar primero 134 × 4 y después 536 (el resultado de 134 × 4) por 25, aunque ambas transformaciones son correctas.


• Intenta poner en juego algunas de las propiedades pero lo hace erróneamente. Por ejemplo, en el punto a) hace 102 × 100 – 2 o 98 × 100 + 2.


• Transforma correctamente los cálculos en otros equivalentes, pero produce algún error al resolverlos.


• Transforma correctamente los cálculos en otros equivalentes, los resuelve e identifica las propiedades que utiliza en cada caso.