El estudio de las fracciones ocupa un lugar central del aprendizaje en el segundo ciclo. Si bien los alumnos tuvieron un primer acercamiento al trabajo con algunas fracciones (medios y cuartos) en el primer ciclo –a propósito del trabajo con medida–, es en esta etapa en la que entrarán en contacto sistemático con ese nuevo campo numérico. Se trata de un aprendizaje complejo, dado que en gran medida implica una ruptura con muchas certezas construidas por los niños a propósito de los números naturales.

Las progresiones sobre este contenido comprenden una variedad de aspectos. Por un lado, la resolución de situaciones que pongan en juego diferentes sentidos de las fracciones: aquellas que implican repartos y medidas, situaciones en las que las fracciones expresan una constante de proporcionalidad y aquellas en las que las fracciones indican la relación entre las partes que forman un todo. Como en el caso de los números naturales, se espera que los alumnos avancen en su posibilidad de reconocer y poner en juego las relaciones de proporcionalidad para resolver problemas en los que intervienen números fraccionarios. Otro aspecto incluido en estas progresiones se refiere a las relaciones entre fracciones.

El propósito es que los niños puedan establecer equivalencias y realizar comparaciones en casos cada vez más complejos. Al mismo tiempo, es importante que construyan progresivamente un repertorio de cálculos mentales apoyado en las relaciones entre medios, cuartos y octavos, y luego entre tercios y sextos, quintos y décimos. Se espera que avancen en la construcción de diversas estrategias para realizar sumas y restas de distintas fracciones, así como también para el caso de la multiplicación y la división.

Como se señaló, son varios los aspectos que deben considerarse. Para facilitar la lectura de las progresiones definidas, se ha organizado su presentación en los siguientes bloques:

• Fracciones en el contexto de la medición.
• Fracciones en el contexto del reparto.
• Escritura, lectura y equivalencia de fracciones.
• Comparación de fracciones y representación en la recta numérica.
• Fracciones de un número natural.
• Estrategias de cálculos con fracciones.
• Fracciones en el contexto de la proporcionalidad.

Cabe recordar que la progresión en los niveles que se desarrollan a continuación podrá aparecer bajo la condición de que los alumnos hayan participado en situaciones sostenidas y sistemáticas de enseñanza para cada clase de problemas.

Se necesita repartir un chocolate entre 5 nenes, de modo que a todos les toque la misma cantidad y no sobre nada. ¿Qué cantidad de chocolate le corresponde a cada uno? Se necesita repartir 15 chocolates entre 4 personas, de modo que a todas les toque la misma cantidad y no sobre nada. ¿Qué cantidad de chocolate le corresponde a cada una?

A partir de las resoluciones, se puede observar si el alumno:

• Resuelve correctamente solo el problema a), que pone en juego una fracción con numerador 1, usando alguno de estos procedimientos:
  
  
  • Dibuja el chocolate y lo parte en 5, sin expresar el resultado de ese reparto con una fracción. Por ejemplo, escribe: “Cada uno recibe un pedacito”.
  
  
  • Dibuja el chocolate, lo parte en 5 y expresa el resultado como la fracción $$\frac{1}{5}$$.
  
  
  • Reconoce que el resultado de ese reparto es $$\frac{1}{5}$$ sin realizar el dibujo.


• Resuelve también el problema b) usando alguno de estos procedimientos:
  
  
  • Dibuja los chocolates y efectúa los repartos de alguna manera, sin expresar el resultado con una fracción. Por ejemplo, escribe: “Cada uno recibe 3 chocolates y un pedacito más”.
  
  
  • Dibuja los chocolates, efectúa los repartos de alguna manera y expresa los resultados usando fracciones. Por ejemplo, escribe: “Cada uno recibe 3 y $$\frac{3}{4}$$, o $$\frac{15}{4}$$, 3 y $$\frac{1}{2}$$ y $$\frac{1}{4}$$” etc.
  
  
  • Determina por algún cálculo que sobran 3 chocolates y expresa el reparto de ese resto como $$\frac{3}{4}$$, sin necesidad de hacerlo efectivamente con un dibujo.

Ejemplo: Indicá qué fracción representa en cada caso la parte sombreada:

Se puede observar si el alumno logra resolver los cinco ítems o solo alguno/s de ellos. Cada uno de los dibujos presentados permite poner en juego relaciones diferentes:

• En el caso del ítem a), las líneas interiores de la figura facilitan determinar que la parte sombreada es $$\frac{1}{4}$$ del rectángulo.


• En el caso del ítem b), la complejidad es mayor porque, si bien las líneas interiores también están dibujadas, no se trata de una fracción con numerador 1, que resulta más fácilmente identificable. El niño puede expresar el resultado correctamente como $$\frac{3}{4}$$ o como “3 de $$\frac{1}{4}$$”.


• En el caso de los ítems c) y d), los alumnos deben considerar cuántas veces “entra” la parte sombreada en el dibujo ya que en uno de ellos no hay ninguna línea divisoria, y en el otro, si bien las hay, no alcanzan para determinar directamente que se trata de $$\frac{1}{8}$$. Es posible que algunos alumnos necesiten construir sobre el dibujo líneas auxiliares que faciliten la resolución. En el caso del ítem d) puede suceder que responda erróneamente que se trata de $$\frac{1}{4}$$ ya que se pueden ver 4 divisiones del entero.


• En el caso del ítem e), se trata de una situación de aun mayor complejidad ya que se hace necesario de alguna manera fraccionar el área sombreada, porque esa región no “entra” una cantidad de veces exacta en la unidad.

Marcá en cada caso la fracción mayor. Explicá cómo te diste cuenta.
a) $$\frac{5}{3}$$ y $$\frac{3}{5}$$	b) $$\frac{1}{5}$$ y $$\frac{1}{8}$$	c) $$\frac{7}{10}$$ y $$\frac{7}{9}$$	d) $$\frac{5}{10}$$ y $$\frac{4}{12}$$

Cada uno de los pares de fracciones presentados permite poner en juego relaciones diferentes. Por eso, resulta particularmente importante analizar la explicación que el niño pueda dar para interpretar cuáles de esas relaciones está poniendo en juego.

• En los casos del ítem a), se trata de una fracción que es mayor que el entero y otra que no lo es. Es posible que un niño al ver que se trata de “los mismos números” no pueda responder o señale que se trata de fracciones iguales.


• En el caso de los ítems b) y c), son fracciones que tienen igual numerador pero distinto denominador. Permiten poner en juego la idea de que “a mayor cantidad de partes de un mismo entero, cada parte resulta más pequeña”. El hecho de que el denominador mayor indique en realidad una fracción menor es complejo para los niños. Es posible por ello que algún alumno considere erróneamente que $$\frac{1}{8}$$ y $$\frac{7}{10}$$ son mayores que $$\frac{1}{5}$$ y que $$\frac{7}{9}$$. Hay que señalar también que si bien en ambos casos la relación en juego es similar, no representa la misma complejidad el caso de la fracción con numerador 1 que con otro numerador. Para los niños resulta más sencillo realizar comparaciones con numerador igual a 1.


• En el caso del ítem d), se trata de una fracción que es mayor que la mitad y otra que es menor. Esta relación requiere tener muy disponible el reconocimiento de fracciones equivalentes a $$\frac{1}{2}$$.

En todos los casos se puede observar entonces si el niño pone en juego alguna de estas relaciones o, si para resolver, necesita apoyarse en dibujos. De ser así es importante analizar qué tipo de dibujos realiza: para poder comparar pares de fracciones es necesario mantener el mismo entero. En algunos de los casos esto puede resultar complejo. Otra estrategia posible para resolver las situaciones planteadas consiste en la búsqueda de fracciones equivalentes.

Indicá para cada par de fracciones si son o no equivalentes. Contá cómo lo pensaste o cómo te diste cuenta.
a) 2 $$\frac{1}{4}$$ y $$\frac{18}{8}$$	b) $$\frac{2}{3}$$ y $$\frac{7}{12}$$	c) $$\frac{9}{3}$$ y $$\frac{36}{15}$$	d) $$\frac{2}{8}$$ y $$\frac{5}{20}$$	e) $$\frac{4}{32}$$ y $$\frac{10}{80}$$

Al igual que en el ejemplo anterior, cada uno de los pares de fracciones presentados permite poner en juego relaciones diferentes. Resulta entonces particularmente importante analizar la explicación que el niño pueda dar, de manera de interpretar cuáles de esas relaciones son las que tuvo en cuenta.

• En el caso del ítem a), se pone en juego la relación entre cuartos y octavos mientras que en el ítem b), entre tercios y doceavos, lo cual resulta más complejo.


• En el caso del ítem c), la relación involucrada se establece entre tercios y quinceavos. Es una relación que implica reconocer que si el denominador es multiplicado por 5, el numerador debería ser multiplicado por ese mismo número para mantener la equivalencia. También puede analizarse la relación entre numeradores: si 9 fue multiplicado por 4 para llegar a 36, para que las fracciones sean equivalentes, al 3 se lo debería multiplicar también por 4. Otra posibilidad es considerar que, siendo ambas fracciones mayores que el entero, es posible determinar que no son equivalentes pues $$\frac{9}{3}$$ son 3 enteros y $$\frac{36}{15}$$ no llega a ser 3 enteros.


• En los casos de los ítems d) y e), ambas situaciones implican mayor complejidad pues no es posible encontrar un número natural que vincule multiplicativamente los numeradores ni los denominadores. Por lo tanto, se hace necesario apelar a otras estrategias para determinar si son o no fracciones equivalentes: encontrar una fracción equivalente a ambas ($$\frac{1}{4}$$ en un caso y $$\frac{1}{8}$$ en el otro) o considerar la relación entre numerador y denominador en cada una. En el caso d), ambos numeradores entran cuatro veces en su correspondiente denominador, en tanto que en el caso e), ambos numeradores entran ocho veces en sus denominadores.

Jorge compró en el mercado 1 y $$\frac{1}{2}$$ kg de pan, $$\frac{3}{4}$$ kg de manzanas y 2 paquetes de $$\frac{1}{2}$$ kg de yerba. Puso todo en una bolsa para llevar hasta su casa. ¿Cuánto pesa la bolsa? Acordate que, además de la respuesta, es importante que escribas cómo pensaste el problema.

A partir de las resoluciones, se puede observar si el alumno:

• Comprende que es un problema donde debe reunir las tres cantidades, pero produce errores al realizar la suma:
  
  
  • Resuelve la suma de la cantidad de pan y la cantidad de yerba reconociendo los 2 y $$\frac{1}{2}$$ kg, pues reconoce que $$\frac{1}{2}$$ y $$\frac{1}{2}$$ forman 1 kg, pero produce errores al sumar los $$\frac{3}{4}$$ de manzanas (por ejemplo, resuelve $$\frac{3}{4}$$ + $$\frac{1}{2}$$ como $$\frac{4}{6}$$, pues suma numeradores y denominadores entre sí).
  
  
  • Escribe que 2 paquetes de $$\frac{1}{2}$$ forman $$\frac{2}{4}$$ dado que suma numeradores y denominadores entre sí, sin apoyarse en la relación entre medios y enteros.
  
  


• Resuelve correctamente la suma de las tres cantidades por diversos procedimientos:
  
  
  • Se apoya en la equivalencia entre cuartos, medios y enteros.
  
  
  • Usa el algoritmo de la suma de fracciones.

En todas las resoluciones se puede observar si produce escrituras aritméticas o dibujos para representar la resolución de la situación.

Fracción	$$\frac{1}{4}$$	$$\frac{1}{8}$$	$$\frac{3}{4}$$	$$\frac{1}{5}$$	$$\frac{3}{5}$$	$$\frac{2}{6}$$	$$\frac{5}{6}$$
Mitad
Doble

Cada una de las fracciones presentadas permite poner en juego relaciones diferentes. Incluir todas ellas, o solo alguna, dependerá de lo trabajado en clase.

En general para los niños resulta más sencillo encontrar el doble de una fracción que su mitad, porque existe una estrategia pertinente en todos los casos, cualesquiera sean los números en juego: solo se trata de sumar dos veces la misma fracción, o multiplicar por dos el numerador. También podrían apoyarse en relaciones conocidas entre medios, cuartos y octavos (“dos cuartos forman un medio”, “dos octavos un cuarto”); entre quintos y décimos, etcétera. Un error posible en el cálculo de los dobles es duplicar tanto numerador como denominador, sin advertir que resulta en definitiva una fracción equivalente a la primera.

A diferencia de lo que ocurre con el cálculo de los dobles, el tipo de fracciones involucradas es una variable muy importante para calcular las mitades. En el caso de $$\frac{1}{4}$$ y $$\frac{1}{8}$$ se trata de relaciones más sencillas y, para establecerlas, el niño se puede apoyar en las primeras equivalencias que se trabajan en la enseñanza. De todos modos implican reconocer un funcionamiento diferente entre los números naturales y los racionales: 8 es el doble de 4 pero $$\frac{1}{8}$$ es la mitad de $$\frac{1}{4}$$.

En el caso de $$\frac{3}{4}$$, es también un tipo de fracción que aparece pronto en la enseñanza, pero, a diferencia de las anteriores, ya no se trata de una fracción con numerador 1. Tiene además un numerador impar, lo que constituye una dificultad importante a la hora de encontrar la mitad de la fracción porque no se puede considerar la mitad del numerador. Es necesario apoyarse en que si $$\frac{1}{8}$$ es la mitad de $$\frac{1}{4}$$, entonces $$\frac{3}{8}$$ lo será de $$\frac{3}{4}$$.

De modo semejante, para establecer la mitad de las dos fracciones con denominador 5 es necesario poner en juego la relación entre quintos y décimos.

En el caso de la fracción $$\frac{2}{6}$$, al tener un numerador par, puede resultar más sencillo encontrar la mitad. Con la última fracción, al tratarse de un numerador impar, se necesita poner en juego la relación entre los sextos y los doceavos.

El completamiento de una tabla con valores proporcionales que incluye fracciones puede ser realizado correctamente a partir de diversos procedimientos. Las estrategias a las que un niño recurre dependerán de los datos presentes y de los conocimientos que tenga disponibles. Luego de haber trabajado durante la enseñanza con las propiedades de la proporcionalidad es deseable que el alumno pueda ponerlas en juego, a partir del análisis que hace de los valores numéricos presentes, eso exige tener disponibles relaciones entre fracciones (dobles, mitades, etcétera). Usar el valor correspondiente a la unidad es una estrategia siempre válida en las relaciones de proporcionalidad, pero hay otras opciones que, según los datos, pueden resultar más eficientes. Es necesario subrayar que los valores que se presentan (tanto aquellos dados como información, como aquellos que deben completarse) pueden variar para promover diferentes tipos de relaciones y, por lo tanto, esto implica diferentes niveles de complejidad para los niños.

La receta de un postre que rinde para 4 porciones lleva $$\frac{4}{5}$$ kg de azúcar. Completá esta tabla. Porciones 4 8 12 1 Azúcar (en kg) $$\frac{4}{5}$$ $$\frac{7}{5}$$ $$\frac{4}{20}$$ 1 Para realizar otra receta, por cada $$\frac{1}{2}$$ kg de fruta, hace falta $$\frac{1}{8}$$ kg de azúcar. Completá la tabla para poder saber qué cantidad de cada ingrediente es necesaria, según el caso. Cantidad de fruta (en kg) $$\frac{3}{8}$$ $$\frac{3}{4}$$ $$\frac{1}{2}$$ 1 $$\frac{3}{2}$$ 2 $$\frac{9}{4}$$ Cantidad de azúcar (en kg) $$\frac{1}{16}$$ $$\frac{1}{8}$$

Cada tabla presenta una complejidad diferente, si bien en ambas la constante de proporcionalidad es una fracción. En la tabla a) solo una de las magnitudes presenta fracciones mientras que en la otra tabla hay fracciones presentes en ambas magnitudes. En los dos casos, los niños tienen que poner en juego las propiedades de la proporcionalidad, dobles y mitades de fracciones y cálculos de suma o de multiplicación.

Por otra parte, la forma en que se organizan los datos en ambas es diferente, en el caso de la tabla b), el par de datos conocido no aparece al inicio de la tabla.

A partir de las resoluciones, se puede observar:

• En qué propiedades de la proporcionalidad se apoya el alumno para resolver la tabla.


• Qué estrategias usa el niño para resolver los cálculos implicados en esas relaciones, según los números en juego. Por ejemplo, en el caso de la tabla del ítem b), se puede calcular la cantidad de azúcar necesaria para 1 kg de fruta duplicando la que se precisa para $$\frac{1}{2}$$ kg de fruta: $$\frac{2}{8}$$ o $$\frac{1}{4}$$ que es el doble de $$\frac{1}{8}$$. Para $$\frac{1}{4}$$ kg de fruta se puede recurrir a la mitad de la cantidad de fruta necesaria para $$\frac{1}{2}$$ kg; o sea, a la mitad de $$\frac{1}{8}$$ que es $$\frac{1}{16}$$. Para conocer la cantidad de azúcar que se precisa para $$\frac{3}{4}$$ kg de fruta, se puede multiplicar por 3 la cantidad necesaria para $$\frac{1}{4}$$ kg; esto es, 3 × $$\frac{1}{16}$$ = $$\frac{3}{16}$$ (o sumar tres veces $$\frac{1}{16}$$), etc.

En caso de aparecer algún error en los resultados es importante detectar si se trata de un error en la relación puesta en juego o en el cálculo realizado.

• Hay muchas maneras de definir las fracciones. Entender $$\frac{1}{n}$$ como aquella parte que n veces conforma el entero resulta muy potente porque es un valioso apoyo para resolver muchas situaciones en las que intervienen las fracciones. Seguramente, será necesario que el maestro presente y traiga nuevamente esa idea durante la resolución de diversos problemas. Es decir, se trata de retomar recurrentemente la pregunta acerca de cuántas de “esas partecitas” se requieren para conformar un entero: cuatro, si el entero está repartido en cuartos, dos si está partido por la mitad, tres si el entero está repartido en tercios, etc. Por ejemplo, es posible que frente a un dibujo en el que hay que decir qué parte del entero está sombreada (cuando no están marcadas todas las líneas divisorias) muchos niños no logren reconocerlo.
  
  
  
  
  El docente puede entonces intervenir recordando esa definición: ¿Cuántas veces entra esa parte en todo el entero? Si entra 4 veces, entonces ¿qué parte será? Acompañando esta intervención, se puede proponer al niño que realice sobre el dibujo las líneas que pueden ayudarlo a establecer cuántas veces entra la parte marcada en el entero.
  
  Otras situaciones en las que apelar a esta definición puede resultar muy fértil son aquellas en las que es necesario reconocer la equivalencia entre partes de un entero con forma diferente.
  
  Frente al dibujo,
  
  
  
  
  es probable que muchos alumnos no reconozcan que ambas partes sombreadas representan $$\frac{1}{4}$$, fundamentando su respuesta en que las zonas sombreadas no son de igual forma. Apelar a que cada una de esas partes entra cuatro veces en el entero puede ayudar al alumno a establecer esta equivalencia, independientemente de que tengan entre sí distinta forma.
  
  También se puede acudir a la definición planteada frente a otras situaciones como esta: ¿Cuántos paquetes de $$\frac{1}{4}$$ se necesitan para obtener 5 kilos de café? Cuando un alumno no logre encontrar una forma de resolverlo, se puede preguntar: Para obtener 1 kilo, ¿cuántos paquetes de $$\frac{1}{4}$$ necesito? O frente a problemas en los que se deben completar cálculos del estilo: $$\frac{3}{5}$$ + … = 1, se podría proponer: ¿Cuántos quintos se necesitan para formar un entero? Si ya tengo 3, ¿cuántos quintos me faltan?
  
  Si este tipo de definición se registra en carteles en el aula y en las carpetas de los alumnos, es un buen recurso al que acudir cuando sea necesario. Los que siguen son ejemplos posibles.
  
  

  Para recordar

  
  
  

  Fracciones Una parte de un entero es un tercio $$\frac{1}{3}$$ si con 3 de esas partes se forma el entero. Una parte de un entero es un cuarto $$\frac{1}{4}$$ si con 4 de esas partes se forma el entero. Una parte de un entero es un octavo $$\frac{1}{8}$$ si con 8 de esas partes se forma el entero. Una parte de un entero es un décimo $$\frac{1}{10}$$ si con 10 de esas partes se forma el entero.



• En el inicio del trabajo con fracciones en el segundo ciclo, para poder resolver los problemas de medidas y repartos que se plantean, no es necesario que los niños aprendan que una fracción tiene un numerador y un denominador. En este primer momento se apunta a que se expliciten y se construyan relaciones como estas: con cuatro de un cuarto se forma un kilo, con dos de medio se forma un kilo, dos paquetes de un cuarto pesan lo mismo que un paquete de medio kilo, etcétera y no el uso de nombres formales. Incluso el hecho de destacar, en estos primeros momentos, que la fracción se conforma de dos partes que tienen nombres diferentes puede llevar a los niños a reforzar la idea errónea de que se trata de “dos números naturales separados por una línea” convirtiéndose en un obstáculo para concebir a la fracción como un número.


• No se espera que los alumnos aprendan clasificaciones de expresiones fraccionarias como “fracción propia”, “fracción impropia”, “fracción aparente”. Realizar ese tipo de clasificación puede convertirse en un obstáculo para comprender este campo numérico dado que las palabras que denominan esos conjuntos de fracciones resultan ambiguas e imprecisas. Por ejemplo, ¿qué significa que las fracciones son “aparentes”? ¿“Aparentan” ser fracciones, pero no lo son? La palabra “aparentes” no ayuda a comprender que las fracciones que representan enteros también son fracciones, que los números enteros pueden ser expresados también en forma fraccionaria. Lo mismo se podría decir con respecto al uso de “impropias” o “propias”. En cambio, sí resulta una tarea potente, desde el punto de vista del aprendizaje de los niños, analizar con ellos la relación entre las fracciones y los enteros: reconocer cuándo se trata de fracciones mayores o menores a un entero, o cuándo representan enteros “justos”. Ese tipo de análisis es un valioso apoyo para resolver diferentes situaciones: para comparar fracciones, para intercalarlas entre números enteros, para ubicarlas en la recta numérica, para controlar resultados de cálculos, etcétera. Por ejemplo, frente a una tarea que implique comparar dos fracciones, considerar la relación de cada una de ellas con el entero podría ser una estrategia útil. Si se compara $$\frac{5}{4}$$ y $$\frac{4}{5}$$, es posible pensar que $$\frac{5}{4}$$ “se pasa” del entero y $$\frac{4}{5}$$ no llega a un entero, por lo tanto $$\frac{5}{4}$$ es mayor.


• Desde el inicio del trabajo con fracciones, resulta importante introducir el tratamiento de algunas mayores a 1, ya sea expresadas como número mixto o no (por ejemplo, 1 $$\frac{1}{4}$$ y $$\frac{5}{4}$$). Algunos niños suelen considerar como fracciones solamente a las partes “más chicas” que un entero (algo así como son fracciones porque son partes menores a 1) y es necesario entonces que confronten esta hipótesis con un repertorio más amplio.

Un aspecto que es necesario trabajar con detenimiento es la relación entre nombre de una fracción (dos tercios, por ejemplo) y su escritura numérica ($$\frac{2}{3}$$), ya que esta relación no es directa ni del todo transparente. Esta falta de correspondencia estricta entre ambos tipos de representación da lugar a ciertos errores que los niños producen cuando intentan escribir algunas fracciones. Por ejemplo:

Hugo escribe correctamente un quinto como $$\frac{1}{5}$$, pero al pedirle que escriba tres quintos produce esta escritura:


Hugo parece considerar como “quintos” la escritura $$\frac{1}{5}$$. Entonces escribe lo que escucha: un “3”, cuando escucha “tres”, y luego “$$\frac{1}{5}$$”, cuando escucha “quinto”.

Un error similar aparece en la producción de Alexandra. En una situación en la que se reparte un alfajor entre dos personas, usa el dibujo y escribe como respuesta que cada uno come $$\frac{1}{2}$$ alfajor pero interpreta su propia escritura correcta en números, como “uno y medio”.


Si se analizan los nombres de las fracciones en juego en las situaciones anteriores, podemos entender las dificultades de algunos niños dado que la diferencia entre las palabras “un medio” y “uno y medio”, o entre “tres quintos”, “tres un quinto” y “tres y un quinto” es muy sutil y poco evidente, aunque designen la misma fracción o fracciones diferentes según los casos. Las operaciones aritméticas involucradas en esas denominaciones son distintas: “tres quintos” implica una multiplicación de “tres por un quinto”. En “tres y un quinto” y “tres un quinto” está implicada una suma, en un caso más evidente al ser “representada” por la letra “y”. Son dos expresiones distintas para designar la misma fracción. Por otra parte, en el caso de la fracción “un medio” es habitual nombrarla solamente como “medio” sin mencionar el número uno, aunque se escriba.

Por eso, es valioso realizar con los niños actividades en las que sea necesario leer y escribir fracciones, comparando escrituras como $$\frac{1}{2}$$ con 1 $$\frac{1}{2}$$; o 2 $$\frac{1}{3}$$ con $$\frac{2}{3}$$, etcétera. En este sentido, una cuestión importante para explicitar a los niños, se refiere a las diferentes escrituras posibles para un número mixto: 1 $$\frac{1}{2}$$ se puede escribir también como 1 y $$\frac{1}{2}$$ o como 1 + $$\frac{1}{2}$$.

Otros ejemplos de diferentes denominaciones orales para las mismas fracciones son “un cuarto” o “la cuarta parte” del mismo entero, “un tercio” y “la tercera parte”, “un quinto” y “la quinta parte”, etcétera. Es valioso que todas estas denominaciones aparezcan en el trabajo del aula.

Muchas veces la escritura de fracciones con numerador diferente de 1 no resulta evidente para algunos niños. Frente a una situación en la que deben escribir el resultado de un reparto (por ejemplo, cuando se debe repartir dos chocolates entre cuatro personas), es posible que los niños puedan concluir que cada uno recibirá “dos pedacitos de $$\frac{1}{4}$$” o “dos de $$\frac{1}{4}$$” o incluso, podrían expresarlo como una suma: “$$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$”. Es posible que les resulte más difícil concebir cuál es la escritura en forma de fracción que le corresponde a esa designación oral “dos cuartos” (o sea, la escritura “$$\frac{2}{4}$$”). Por eso es necesario sistematizar, desde el principio y durante las discusiones colectivas sobre los problemas, la equivalencia entre escrituras del estilo: “$$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$ = 2 de $$\frac{1}{4}$$ = $$\frac{2}{4}$$” o “Dos cuartos se puede escribir como 2 de $$\frac{1}{4}$$; 2 × $$\frac{1}{4}$$; $$\frac{2}{4}$$”. Estas discusiones apuntan a que los niños puedan comprender que $$\frac{2}{4}$$ son dos veces $$\frac{1}{4}$$, como $$\frac{3}{5}$$ son tres veces $$\frac{1}{5}$$, etc.

• Como ya se señaló, reconocer la equivalencia entre diferentes expresiones fraccionarias es un aprendizaje complejo para los niños. Una entrada posible para el inicio del trabajo con fracciones es proponer situaciones donde intervengan medios, cuartos y octavos, estableciendo una primera relación de equivalencia entre ellas. Es una relación entre fracciones usuales, con las que los niños suelen tener más contacto fuera de la escuela. Esa relación debe ser trabajada en distintos usos y contextos (por ejemplo, a partir de relaciones de medidas, estableciendo que dos potes de $$\frac{1}{4}$$ kg de helado pesan lo mismo que un pote de $$\frac{1}{2}$$ kg). Es importante señalar que los niños no las generalizan inmediatamente a nuevos contextos (por ejemplo, no extienden automáticamente las equivalencias trabajadas en el contexto de la medida a una situación de repartos). Por eso, al proponerles entonces una situación en un nuevo contexto es necesario que el docente recupere y explicite las relaciones con lo estudiado a propósito de otro contexto. Por ejemplo, para una situación de reparto de 2 chocolates entre 4 personas, para que los niños puedan establecer que comer $$\frac{1}{2}$$ chocolate es lo mismo que comer $$\frac{2}{4}$$ de chocolate habrá que vincular la situación con lo trabajado para el caso del helado. Las equivalencias entre medios, cuartos y octavos deben trabajarse en un amplio campo de problemas que incluya sumas y restas, tanto de números enteros y fracciones como entre fracciones y multiplicaciones de fracciones por un número natural, comparaciones, representación gráfica, dobles y mitades, expresiones equivalentes.
  
  A continuación, se incluye un ejemplo de un cartel armado por el docente en diálogo con los alumnos, luego de discutir una serie de problemas en los que debían componer cantidades usando paquetes de $$\frac{1}{2}$$ kg, $$\frac{1}{4}$$ kg y $$\frac{1}{8}$$ kg.
  
  
  
  
  Una vez consolidado el trabajo de las relaciones entre medios, cuartos y octavos, es importante desplegar las equivalencias entre tercios y sextos, y entre quintos y décimos.
  
  Para trabajar las relaciones entre fracciones puede recurrirse a las siguientes actividades:
  
  
  • Situaciones en las que sea necesario plegar papeles y representar gráficamente esos plegados. Este tipo de problemas permite poner en juego la idea de que la fracción $$\frac{1}{n}$$ es aquella parte que repetida n veces constituye el entero y trabajar las relaciones entre fracciones, tanto equivalencias como dobles y mitades: al plegar medios por la mitad se obtienen cuartos, al plegar los cuartos en mitades se obtienen octavos, etc.
  
  
  • Situaciones que apuntan a reconstruir la unidad usando diferentes partes, como los juegos “La escoba del uno” o “Rompecabezas de enteros”.
  
  Tanto el plegado como los juegos mencionados permiten a los niños apoyarse en la comprobación empírica para establecer relaciones entre las fracciones. Por ejemplo, pueden superponer piezas para verificar que $$\frac{1}{2}$$ ocupa lo mismo que dos piezas de $$\frac{1}{4}$$. Sin bien estos procedimientos son valiosos y útiles en un principio, será necesario ir sustituyéndolos por la construcción de argumentos como $$\frac{1}{2}$$ y $$\frac{2}{4}$$ son equivalentes porque si con 4 de $$\frac{1}{4}$$ se forma un entero, con la mitad de partes, o sea, con dos de $$\frac{1}{4}$$, se forma la mitad del entero.


• A lo largo del trabajo es importante sistematizar un conjunto de fracciones equivalentes a 1 y también aquellas equivalentes a $$\frac{1}{2}$$. Ese repertorio podrá ser un apoyo útil para la resolución de diversas situaciones. A propósito de la discusión de diferentes problemas se puede escribir un cartel con estas equivalencias e ir completándolo a medida que aparecen nuevas fracciones. Un ejemplo posible:
  
  
  
  
  Los alumnos podrán recurrir, autónomamente o con ayuda del docente, a esas equivalencias para resolver nuevos problemas. Por ejemplo, si tienen que encontrar la solución para este cálculo:
  
  

  $$\frac{4}{9}$$ + ... = 1

  
  
  considerar 1 como $$\frac{9}{9}$$ podría permitir calcular cuántos novenos hay que agregarle a los 4 para llegar a 9.
  
  En otro caso, por ejemplo, si se trata de comparar $$\frac{7}{12}$$ y $$\frac{9}{18}$$, considerar que $$\frac{9}{18}$$ equivale a medio y que $$\frac{7}{12}$$ es mayor que $$\frac{6}{12}$$ que también es medio, permite resolver la comparación. Es importante que el docente pueda intervenir para alentar y favorecer que los niños consideren los enteros y la mitad de diferentes maneras según convenga en el problema que se esté resolviendo.


• El trabajo con las fracciones con denominador 10, 100, 1.000, etcétera, es central porque sirve de apoyo al trabajo con los números decimales. En particular es importante incluirlas también cuando se proponen actividades sobre equivalencias entre fracciones. Es importante que los niños reconozcan las equivalencias entre:




$$\frac{1}{10}$$ = $$\frac{10}{100}$$ = $$\frac{100}{1000}$$

$$\frac{5}{10}$$ = $$\frac{50}{100}$$ = $$\frac{500}{1000}$$



También equivalencias como:



$$\frac{1}{4}$$ = $$\frac{25}{100}$$

$$\frac{1}{2}$$ = $$\frac{50}{100}$$

$$\frac{3}{4}$$ = $$\frac{75}{100}$$

Las situaciones que exigen buscar la fracción de un número natural resultan muy complejas y ameritan un detenimiento particular en la enseñanza. Si bien se trata de la relación entre una parte y el todo, ese “todo” no es una cantidad continua, sino una colección discreta (es decir, una cantidad de objetos que se pueden contar). Las fracciones ya no hacen referencia a una parte de un objeto, sino a una parte de una colección compuesta por varios objetos. Esto explica que algunos alumnos frente a la situación de decidir cuánto es $$\frac{1}{4}$$ de 20 globos, respondan que son 4, confundiendo la cantidad de partes a considerar (que son cuatro) con el valor de cada parte (que en este caso es cinco). En estas situaciones hay una exigencia de cambio de unidad, ya que se pueden reconocer dos unidades de medida: considerar cada globo como una unidad o considerar la colección completa de globos como un todo. Esta exigencia no aparece cuando se reparten chocolates ni se fracciona una cierta longitud ni un área.

Los siguientes ejemplos de problemas pueden servir para ilustrar estas diferencias.

1. Juan comió $$\frac{1}{4}$$ de este chocolate. Marcá lo que comió Juan. ¿Hay una sola posibilidad?
   
   
   


2. Juan comió $$\frac{1}{4}$$ de los 20 caramelos que venían en el paquete. Pintá los caramelos que puede haberse comido Juan.
   
   
   

En el problema a) la respuesta no es otro número, es un área que deben marcar. En el problema b), reconocer $$\frac{1}{4}$$ de los caramelos implica considerar a 20 como una unidad. La respuesta a este problema es 5, que es otro número, distinto de $$\frac{1}{4}$$ y de 20.

En los problemas que aluden a fracciones de un número natural, una intervención posible del docente es recurrir a la definición de fracción y, por ejemplo, volver a traer la idea de que $$\frac{1}{4}$$ es aquella parte que repetida cuatro veces constituye el entero. Se tratará entonces de encontrar una cantidad de caramelos que 4 veces repetida forme 20 caramelos.

Las situaciones que requieren reconocer fracciones no unitarias de un número natural ($$\frac{3}{4}$$ de 20; $$\frac{4}{6}$$ de 36, etcétera) resultan aún más complejas. En esos casos, usar la fracción unitaria de una cantidad puede ser un buen apoyo para encontrar una respuesta al problema. Por ejemplo, para saber cuánto es $$\frac{3}{4}$$ de 20, será útil reconocer que $$\frac{3}{4}$$ son 3 de $$\frac{1}{4}$$ y entonces buscar primero $$\frac{1}{4}$$ de 20 (que son 5) y luego hacer 3 veces esa cantidad (5 + 5 + 5 o 5 × 3). Situaciones como la siguiente pueden permitir a los niños “extender” la relación entre la fracción de numerador 1 y la cantidad expresada como número natural a las otras fracciones con numerador distinto de 1:

Calculá: Si se tienen… ¿Cuántos caramelos son $$\frac{1}{3}$$ de la colección? ¿Cuántos caramelos son $$\frac{2}{3}$$ de la colección? ¿Cuántos caramelos son $$\frac{3}{3}$$ de la colección? ¿Cuántos caramelos son $$\frac{4}{3}$$ de la colección? 9 caramelos 24 caramelos 36 caramelos

Se podrá trabajar entonces que si $$\frac{1}{3}$$ de 9 es 3, entonces $$\frac{2}{3}$$ de 9 es 3 + 3, o sea, 6, y así con los otros casos.

En las primeras situaciones en las que se trabaja la fracción de un número natural es importante que los niños cuenten con el apoyo de dibujos (dados por el docente o realizados por ellos mismos) como sostén de sus procedimientos de resolución. A medida que se avanza en el trabajo, será necesario ir proponiendo situaciones en las que el dibujo ya no resulte conveniente (por el tamaño de números) para que necesiten entonces apelar a las relaciones numéricas. Como ya fue señalado en otros contenidos, la elección de los números juega un rol central para determinar la complejidad de la situación: calcular $$\frac{1}{4}$$ de 400 puede resultar más sencillo (por la relación que hay entre 4 y 400) que calcular $$\frac{1}{3}$$ de 72. La disponibilidad que tengan los niños de repertorios de cálculo será central para tomar decisiones en ese sentido.

Este trabajo sobre la fracción de un número natural tiene fuerte relación con el trabajo sobre porcentaje: encontrar cuánto es el 60% de 360 es encontrar el $$\frac{60}{100}$$ de 360. Es necesario entonces que durante el trabajo de enseñanza esta relación pueda ser explicitada. Como ya se señaló, hay una red de relaciones entre los contenidos como fracciones, porcentaje y proporcionalidad.

En los problemas vinculados con la comparación de fracciones, es necesario variar la complejidad mediante el tipo de fracciones que se presenten. Si bien para comparar se puede siempre recurrir a la búsqueda de fracciones equivalentes a las dadas con un mismo denominador (y entonces comparar únicamente los numeradores), la riqueza de la tarea de comparación consiste en buscar y elegir una estrategia específica en función de las fracciones que se quiere comparar. Para que los alumnos avancen en el despliegue de diferentes estrategias hace falta proponer una variedad de situaciones:

• Comparar fracciones que tengan igual denominador y diferente numerador (como $$\frac{3}{5}$$ y $$\frac{1}{5}$$). En este caso, como los enteros están divididos en la misma cantidad de partes, alcanza con tener en cuenta que en $$\frac{3}{5}$$ se tienen más de esas partes que en $$\frac{1}{5}$$.


• Comparar fracciones que tengan igual numerador y diferente denominador (como $$\frac{1}{6}$$ y $$\frac{1}{9}$$). En este caso, los niños deben tener en cuenta que, si se divide al entero en mayor cantidad de partes, cada una de ellas será más pequeña.


• Comparar fracciones con distinto numerador y denominador, de modo que alguna sea mayor y otra menor que el entero (como $$\frac{3}{4}$$ y $$\frac{4}{3}$$). En este caso los niños deben usar el entero como referencia, estableciendo cuál de ellas es mayor o igual al entero.


• Comparar fracciones con distinto numerador y denominador, de modo que alguna sea mayor y otra menor que $$\frac{1}{2}$$ (como $$\frac{3}{5}$$ y $$\frac{7}{14}$$). En este caso, los niños deben usar $$\frac{1}{2}$$ como referencia, estableciendo cuál es mayor o igual a $$\frac{1}{2}$$.

Hay algunos casos en que estas estrategias no son útiles, como sucede al comparar, por ejemplo, $$\frac{4}{5}$$ con $$\frac{3}{4}$$ o $$\frac{3}{5}$$ con $$\frac{4}{7}$$. En tales casos, se pueden buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Además, en el primer caso, se podría establecer que a $$\frac{4}{5}$$ le falta $$\frac{1}{5}$$ para llegar al entero y a $$\frac{3}{4}$$ le falta $$\frac{1}{4}$$. Como $$\frac{1}{5}$$ es más pequeño, o sea, que a $$\frac{4}{5}$$ le falta menos para llegar a un entero, se puede afirmar que $$\frac{4}{5}$$ es más grande que $$\frac{3}{4}$$. Se trata de un razonamiento muy elaborado, ya que apela a comparar los complementos para estimar las cantidades: si lo que falta es menor, lo que hay es mayor. No es esperable que todos los niños produzcan explicaciones semejantes a esta última. Lo interesante será que se discuta este procedimiento de comparación en situaciones colectivas, luego de haber desplegado en el aula una variedad de situaciones como las mencionadas antes.

Resulta enriquecedor analizar con los alumnos cuándo es posible usar cada una de las estrategias de comparación, cuáles sirven siempre y cuáles solo en algunas ocasiones. Se trata de promover que los alumnos expliciten cuáles son las relaciones que pusieron en juego para permitir que otros niños se apropien y empiecen a usar nuevas relaciones, y que el docente presente alguna que no haya sido considerada. Las discusiones que se producen a partir de la comparación de fracciones son una oportunidad para desplegar un trabajo sobre explicaciones y argumentos.

La representación en la recta numérica y la comparación de fracciones son tareas que se apoyan mutuamente. Si los niños ya han trabajado representando fracciones en la recta, imaginarse el orden de las fracciones sobre ella podría permitirles desarrollar estrategias de comparación. En algunos casos el docente puede intervenir proponiendo al niño que construya la recta o construirla junto con él, para que el alumno pueda ubicar las fracciones y así poder compararlas. Al mismo tiempo, saber comparar algunas fracciones permite establecer relaciones entre las fracciones que ya están representadas en la recta y otras que se quieren agregar, para anticipar en qué sector de la recta habrá que agregarlas. Por ejemplo, en una actividad consistente en ubicar $$\frac{1}{3}$$ y $$\frac{7}{8}$$ en la recta, una intervención pertinente consistiría en pedir a los niños que anticipen en qué lugar aproximado se deberían representar esas fracciones. Es esperable que puedan decir que como $$\frac{1}{3}$$ es más chico que $$\frac{1}{2}$$, quedará ubicado a la izquierda de $$\frac{1}{2}$$. A la vez, como $$\frac{7}{8}$$ es más grande que $$\frac{3}{4}$$, quedará ubicado a su derecha.

Un avance central en el aprendizaje de las fracciones es que los niños puedan concebirlas como un cociente, es decir, considerar, por ejemplo, $$\frac{3}{4}$$ como el cociente de 3 dividido 4. Si bien desde las primeras situaciones de reparto las fracciones aparecen vinculadas a divisiones, los niños no establecen de manera directa la relación entre el hecho de que al repartir 5 chocolates entre 3 personas a cada una le toque $$\frac{5}{3}$$ de chocolate, y que sean justamente 5 y 3 el dividendo y el divisor de la división. Establecer la relación entre la división de números naturales y fracciones, es decir, comprender que el cociente entre dos números naturales cualesquiera, por ejemplo a y b, es la fracción $$\frac{a}{b}$$ y, a la vez, que toda fracción $$\frac{a}{b}$$ puede ser pensada como el cociente a ∶ b no es inmediato y requiere de mucho trabajo de aprendizaje por parte de los alumnos. Es necesario que el docente proponga variadas situaciones y el planteo de reflexiones colectivas que permitan poner esta relación en evidencia. Es posible entonces que, luego de haber realizado varias situaciones en las que se realizaron repartos, se analice la relación entre los números involucrados en esos repartos y las fracciones obtenidas como resultados: En este problema, repartimos 5 chocolates entre 4, escribimos la división 5 ∶ 4 y como respuesta escribimos que cada uno comía $$\frac{5}{4}$$; en este otro problema, repartimos 7 entre 5, escribimos el cálculo 7 ∶ 5 y la respuesta fue $$\frac{7}{5}$$; cuando hicimos 13 entre 4, nos dio $$\frac{13}{4}$$. ¿Será que siempre cuando hacemos una división el resultado se puede expresar como una fracción que incluye esos números? Estas preguntas apuntan a que los niños adviertan que un modo de realizar el reparto es cortar cada chocolate en tantas partes como personas haya y que cada uno reciba una parte de cada uno de los chocolates. Por ejemplo, si hay 13 chocolates y 4 personas, puedo cortar cada chocolate en 4 partes y darle una parte de cada chocolate a cada uno, es decir que cada persona recibe 13 de $$\frac{1}{4}$$, es decir $$\frac{13}{4}$$. Así se puede analizar con los alumnos qué relación hay entre numerador y denominador de la fracción con el dividendo y el divisor de la división que dio origen al resultado: el numerador de la fracción es el dividendo de la división y el denominador es el divisor.

Una situación que permite avanzar hacia esta conceptualización de la fracción como cociente puede ser la siguiente:

Una maestra propuso a los alumnos el siguiente juego: Pienso un número. Ustedes me proponen números y yo divido mentalmente esos números que ustedes me dicen por el número que yo pensé y les digo el resultado. Entonces, ustedes tienen que encontrar el número que yo pensé. Cuando los chicos propusieron: 5 6 2 7 La maestra respondió: $$\frac{5}{3}$$ 2 $$\frac{1}{3}$$ a) ¿Cuál fue el número que pensó la maestra? b) Completá la tabla.

Este tipo de trabajo permite, además, poner en juego que la división exacta no siempre es posible en el conjunto de los números naturales. Los números racionales vienen a cubrir esta necesidad de la aritmética de dar sentido a cualquier división entre naturales.

Las operaciones con fracciones resultan complejas para muchos alumnos, pues varios de los conocimientos que han construido sobre los números naturales no pueden ser utilizados a la hora de operar con las fracciones. Un problema importante del uso de los algoritmos convencionales para las operaciones con fracciones es que, al igual que los algoritmos con números naturales, no explicitan las relaciones que se están poniendo en juego. Por otra parte, muchas veces los mecanismos implicados en los algoritmos para distintas operaciones pueden resultar contradictorios a los ojos de los niños. Por ejemplo, en el caso de la multiplicación, se opera multiplicando tanto los numeradores entre sí, como los denominadores entre sí. No sucede eso en el caso de la suma o la resta, pues, cuando tienen el mismo denominador solo se opera con los numeradores.

• Es posible que las sumas o restas de fracciones aparezcan desde el inicio del trabajo, a partir de las discusiones sobre problemas de medidas o repartos, con las escrituras del tipo $$\frac{1}{2}$$ + $$\frac{1}{2}$$ = 1; $$\frac{1}{2}$$ + $$\frac{1}{4}$$ = $$\frac{3}{4}$$, entre otras. Esto permite una entrada en las operaciones de manera no mecánica, conservando el sentido de lo que sucede al componer cantidades expresadas en forma fraccionaria. Frente a la situación de componer 1 kg con paquetes de $$\frac{1}{4}$$ y $$\frac{1}{2}$$, luego de las resoluciones en las que muchas veces los niños dibujan o escriben con palabras y números (por ejemplo: Se puede usar dos de medio, o cuatro de $$\frac{1}{4}$$) el docente puede aportar las escrituras aritméticas que correspondan a esas resoluciones incluyendo las operaciones. Así, para este caso puede escribir: $$\frac{1}{2}$$ + $$\frac{1}{2}$$ = 1, o incluso 2 × $$\frac{1}{2}$$; o $$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$ = 1; o $$\frac{1}{2}$$ + $$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$ = 1, etcétera. Un avance posterior será que estos cálculos de sumas y restas entre medios, cuartos y octavos se presenten luego descontextualizados. Frente a ese tipo de tarea, un error probable es operar como si se tratara de dos números naturales, sumando numeradores entre sí y denominadores entre sí. Por ejemplo, podrían resolver $$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{2}$$ = $$\frac{2}{6}$$. En ese caso, una intervención posible es volver a los primeros contextos y relaciones trabajadas: Si compro medio kilo de café y le agrego un cuarto, ¿cuánto café tengo en total? En medio kilo, ¿cuántos cuartos entran? ¿Y si le agrego otro cuarto más, cuántos cuartos tengo? Otra intervención es analizar la razonabilidad de ese resultado obtenido. En este caso, sería analizar que $$\frac{1}{2}$$ + $$\frac{1}{4}$$ no puede dar $$\frac{2}{6}$$, pues $$\frac{2}{6}$$ es menos que la mitad. Analizar la razonabilidad de los resultados es una intervención potente que comunica que en Matemática es importante buscar maneras de estar seguro y controlar los resultados que se obtienen. Así, por ejemplo, frente a otros errores en cálculos, como por ejemplo, 3 – $$\frac{2}{7}$$ = $$\frac{1}{7}$$ (porque hace 3 – 2 = 1 y mantiene el 7 en el denominador), se puede preguntar: ¿$$\frac{1}{7}$$ es mayor o menor que 1 entero? ¿Será posible que si a 3 enteros le saco menos de 1 el resultado sea más chiquito que 1 entero?


• Es central construir con los niños un repertorio de cálculos memorizados, en particular que retome las relaciones entre medios, cuartos y octavos; y tercios y sextos:
  
  
  

Diversas actividades de cálculo mental permiten la movilización de diferentes recursos: pensar los números naturales como fracciones, e inversamente, considerar una fracción mayor que 1 como una suma de un número natural y una fracción menor que 1; concebir una fracción en términos de distancia a un cierto entero; analizar un cálculo y obtener información sobre el resultado sin realizarlo de manera efectiva, etcétera. Por ejemplo:

Calculá mentalmente. No se puede escribir la respuesta como número mixto. a) $$\frac{1}{4}$$ + 1 = d) $$\frac{9}{7}$$ – 1 = g) $$\frac{8}{7}$$ + 3 = b) $$\frac{3}{8}$$ + 1 = e) $$\frac{15}{4}$$ – 1 = h) $$\frac{9}{2}$$ – 4 = c) $$\frac{19}{3}$$ + 1 = f) $$\frac{3}{5}$$ + 2 = i) $$\frac{8}{3}$$ – 2 =

Calculá mentalmente qué número debe colocarse en cada caso para completar los siguientes cálculos. a) $$\frac{1}{5}$$ + … = 2 c) $$\frac{3}{5}$$ + … = 2 e) $$\frac{5}{2}$$ – … = 1 b) $$\frac{1}{2}$$ + … = 2 d) $$\frac{7}{6}$$ + … = 3 f) $$\frac{17}{5}$$ – … = 3 Anotá cada una de las siguientes fracciones como sumas de un número entero más una fracción menor que 1. a) $$\frac{4}{3}$$ c) $$\frac{11}{6}$$ e) $$\frac{25}{9}$$ b) $$\frac{9}{4}$$ d) $$\frac{19}{3}$$ f) $$\frac{31}{4}$$

• El trabajo con situaciones de cálculo aproximado es una parte importante del trabajo con operaciones con fracciones ya que, como se señaló, permite que sea usado para anticipar y controlar resultados. Por ejemplo, con tareas similares a la siguiente.
  
  

  Decidí, sin realizar el cálculo exacto y explicando cómo lo pensaste, si es verdad que: $$\frac{1}{2}$$ + 1 es mayor que 1 5 + 1 $$\frac{3}{4}$$ es mayor que 7 5 – $$\frac{3}{4}$$ es menor que 4 9 – $$\frac{1}{4}$$ es mayor que 8 3 + $$\frac{10}{5}$$ es mayor que 6



• Es muy importante el trabajo de búsqueda de dobles y mitades. En general para los niños resulta más sencillo encontrar el doble de una fracción que su mitad porque existe una estrategia pertinente en todos los casos, cualesquiera sean los números en juego: solo se trata de sumar dos veces la misma fracción. Por ejemplo, para buscar el doble de $$\frac{3}{5}$$ o de $$\frac{2}{8}$$ se puede hacer $$\frac{3}{5}$$ + $$\frac{3}{5}$$ o $$\frac{2}{8}$$ + $$\frac{2}{8}$$. Frente al procedimiento de sumar dos veces la misma fracción, el docente puede proponer la escritura multiplicativa correspondiente: 2 × … . Otra estrategia posible es apoyarse en relaciones conocidas entre, por ejemplo, medios, cuartos y octavos (“dos cuartos forman un medio, por lo tanto, $$\frac{1}{2}$$ es el doble de $$\frac{1}{4}$$”, “dos octavos un cuarto, entonces $$\frac{1}{4}$$ es el doble de $$\frac{1}{8}$$”, etcétera); o entre quintos y décimos, etcétera. Un error posible, que será necesario discutir grupalmente, es que los niños dupliquen tanto numerador como denominador sin advertir que resulta en definitiva una fracción equivalente a la primera.
  
  El caso de las mitades resulta más complejo. El tipo de fracciones involucradas es una variable muy importante, ya que no todos los procedimientos sirven para todas las fracciones. Si el numerador es par, alcanza con buscar su mitad. Por ejemplo, en el caso de $$\frac{6}{7}$$, la mitad de 6 partes son 3 partes, por lo tanto $$\frac{3}{7}$$ es la mitad de $$\frac{6}{7}$$. Cuando se presentan fracciones cuyos numeradores son impares, esta estrategia no es posible y se requiere transformar los numeradores y denominadores de las fracciones. Por ejemplo, en el caso de $$\frac{3}{5}$$, se puede pensar como $$\frac{6}{10}$$ y entonces la mitad es $$\frac{3}{10}$$, o pensar que como la mitad de $$\frac{1}{5}$$ es $$\frac{1}{10}$$, la mitad de $$\frac{3}{5}$$ es $$\frac{3}{10}$$. Para avanzar sobre esto es necesario un fuerte trabajo previo sobre cálculo de mitades de fracciones con numerador1 para que los niños construyan la idea de que al partir, por ejemplo, $$\frac{1}{4}$$ por la mitad el entero resulta partido en 8 partes, por lo tanto $$\frac{1}{8}$$ es la mitad de $$\frac{1}{4}$$. Para algunos niños la representación gráfica será un apoyo importante. A partir de la resolución de varios cálculos similares se podría generalizar que al duplicar el denominador –dejando fijo el numerador– se obtiene la mitad de la fracción. Entonces, para buscar la mitad de fracciones con numeradores impares, como por ejemplo $$\frac{5}{7}$$, es posible que los niños se apoyen en la búsqueda de la mitad de la fracción unitaria que corresponde, en este caso a $$\frac{1}{7}$$. Como la mitad de $$\frac{1}{7}$$ es $$\frac{1}{14}$$ podrían establecer que la mitad de $$\frac{5}{7}$$ es $$\frac{5}{14}$$. Es importante que posteriormente el docente intervenga para ayudar a los alumnos a establecer relaciones entre este trabajo de búsqueda de mitades de algunas fracciones y la escritura como división o multiplicación que corresponde. Por ejemplo, vincular que la mitad de $$\frac{3}{4}$$ se puede escribir como $$\frac{1}{2}$$ de $$\frac{3}{4}$$ o $$\frac{1}{2}$$ × $$\frac{3}{4}$$ o $$\frac{3}{4}$$ : 2. Esto permitiría establecer que buscar la mitad de una fracción es lo mismo que dividir esa fracción por 2. Esta misma relación podría ampliarse a la búsqueda de un tercio, un cuarto o un quinto, etcétera, de fracciones, estableciendo la relación con la división por 3, 4, 5, etc.
  
  El trabajo previo sobre la proporcionalidad en números naturales puede ser un apoyo importante para encontrar los vínculos entre dividir por 2 y calcular $$\frac{1}{2}$$ de una fracción. Se pueden plantear situaciones en las que sea necesario completar tablas proporcionales en las que la constante sea una fracción. Por ejemplo:
  
  

  Un auto gasta $$\frac{1}{8}$$ litro de nafta por kilómetro recorrido. Completá la siguiente tabla. Kilómetros 1 $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{4}$$ Litros $$\frac{1}{8}$$ ... ...

  Se puede analizar allí que para encontrar el gasto de nafta que corresponde a $$\frac{1}{2}$$ km se puede calcular la mitad de lo que corresponde a 1 km, o sea la mitad de $$\frac{1}{8}$$, $$\frac{1}{8}$$ ∶ 2 = $$\frac{1}{16}$$. También se puede calcular el gasto usando el valor de la constante de proporcionalidad, $$\frac{1}{8}$$, multiplicando $$\frac{1}{2}$$ × $$\frac{1}{8}$$ = $$\frac{1}{16}$$. El maestro puede entonces intervenir para relacionar ambos procedimientos, explicitando que $$\frac{1}{8}$$ ∶ 2 da lo mismo que $$\frac{1}{2}$$ × $$\frac{1}{8}$$.


• Con respecto a la multiplicación de fracciones, cuando se multiplica una fracción por un número natural es posible recuperar la idea de multiplicación como sumas sucesivas del mismo número. Por ejemplo, $$\frac{2}{3}$$ × 5 es posible pensarlo como $$\frac{2}{3}$$ + $$\frac{2}{3}$$ + $$\frac{2}{3}$$ + $$\frac{2}{3}$$ + $$\frac{2}{3}$$. Como ya se señaló, la multiplicación de una fracción por un número natural también puede ser usada y reconocida desde el inicio del trabajo con fracciones cuando se define, por ejemplo, a $$\frac{3}{4}$$ como 3 de $$\frac{1}{4}$$. Merecen un trabajo particular aquellas situaciones en las que es necesario encontrar por cuánto multiplicar fracciones unitarias para obtener 1. En esos casos, nuevamente, utilizar la definición de fracción trabajada es un muy buen apoyo para resolver ese tipo de cálculos multiplicativos. Por ejemplo, para resolver:
  
  

  $$\frac{1}{5}$$ x ... = 1

  
  
  es posible volver a poner en juego que $$\frac{1}{5}$$ es aquella parte que repetida 5 veces conforma el entero, de ese modo se podrá resolver el cálculo propuesto como $$\frac{1}{5}$$ × 5 = 1.
  
  Es posible proponer, entonces, actividades como las siguientes.
  
  

  Completá las siguientes multiplicaciones:
  a) 5 × … = 1	d) $$\frac{1}{5}$$ × … = 1
  b) 3 × … = 1	e) $$\frac{1}{11}$$ × … = 1
  c) 4 × … = 1	f) $$\frac{1}{21}$$ × … = 1

  El avance será luego completar multiplicaciones para obtener cualquier otro número natural, partiendo también de fracciones con numerador 1. Por ejemplo, para resolver $$\frac{1}{5}$$ × … = 3, los alumnos podrán apoyarse en que si $$\frac{1}{5}$$ × 5 = 1 entonces $$\frac{1}{5}$$ × 5 × 3 = 3; y desde allí pensar que $$\frac{1}{5}$$ × 15 = 3. Luego, el trabajo puede avanzar hacia la resolución de cálculos en los que se multiplica una fracción no unitaria para llegar también a 1, por ejemplo, $$\frac{3}{5}$$ × … = 1. El trabajo anterior es el apoyo para abordar situaciones, hacia fines de la escolaridad primaria, como 5 × … = 7, ya que es posible pensar en que 5 × $$\frac{1}{5}$$ = 1, entonces 5 × $$\frac{1}{5}$$ × 7 = 7. Recurriendo a la propiedad asociativa entonces reconocer también que, como $$\frac{1}{5}$$ × 7 = $$\frac{7}{5}$$, entonces 5 × $$\frac{7}{5}$$ = 7.
  
  Distinto es el caso de la multiplicación entre fracciones dado que no puede pensarse como una suma reiterada de la misma fracción, como sucede en el caso de la multiplicación de una fracción por un número natural. Una ayuda para comprender el algoritmo de la multiplicación entre fracciones podría ser el modelo de área, que permite dar sentido al mecanismo implicado. Por ejemplo, para calcular $$\frac{2}{3}$$ × $$\frac{3}{5}$$, se puede pensar en un rectángulo cuyos lados tienen longitudes que coinciden con esas fracciones. Uno de los lados se divide en tres partes para considerarlo en tercios, marcando allí un largo de $$\frac{2}{3}$$, y el otro de los lados es dividido en cinco partes, para considerarlo en quintos, marcando allí un largo de $$\frac{3}{5}$$. Así, el producto $$\frac{2}{3}$$ × $$\frac{3}{5}$$ resulta $$\frac{6}{15}$$, pues el área total queda dividida en 15 partes, de las cuales quedan marcadas 6.
  
  
  
  
  Hay que tener en cuenta que esta interpretación, aunque permite entender cómo se puede obtener el resultado de una multiplicación de fracciones (multiplicando numeradores y denominadores entre sí), es limitada ya que solo aborda el significado de la multiplicación asociado a los problemas de estructura rectangular. Es necesario proponer también situaciones de proporcionalidad directa que permiten también aproximarse a otro sentido de la multiplicación de fracciones.

• GCABA, Ministerio de Educación (2017) Matemática. Segundo ciclo. Segunda parte. Aceleración y Nivelación. Serie Trayectorias Escolares.
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• GCABA, Secretaría de Educación, DGPLED, Dirección de Currícula (2005) Fracciones y números decimales 4º, 5º, 6º y 7º. Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza, 2004-2007.
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• GCABA, Secretaría de Educación, DGPLED, Dirección de Currícula (2006) Cálculo mental con números racionales. Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseñanza, 2004-2007.
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• Ministerio de Educación de la Nación (2012) Fascículo Parte, comparte, reparte. Serie Piedra Libre.
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• Ministerio de Educación de la Nación (2014) Matemática para todos en el Nivel Primario. Notas para la enseñanza 2. Operaciones con fracciones y números decimales. Propiedades de las figuras geométricas. Vol., pp. 56-111.
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• Ministerio de Educación de la Nación. Matemática. Para seguir aprendiendo. Tareas de acompañamiento para alumnos y alumnas de 4º y 5º grado. Cuadernillo de actividades. Serie Aprender con todos.
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• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007) NAP. Matemática 4, 5 y 6. Segundo ciclo EGB / Nivel Primario. Serie Cuadernos para el aula. 4º grado: pp. 49-64, 5º grado: pp. 90-113 y 6º grado: pp. 41-111.
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