Expresiones decimales


En el segundo ciclo los alumnos inician su trabajo sistemático con los números racionales, tanto con las fracciones como con las expresiones decimales, y es un objetivo que logren relacionar ambas representaciones. Se trata de que comprendan que una misma cantidad puede representarse como una fracción o como un número con coma, así como también que, progresivamente, puedan decidir cuándo es preferible utilizar una expresión u otra. El trabajo con fracciones decimales (fracciones con denominador 10, 100, 1.000, etcétera) ocupa en ese proceso un lugar central. Una marca importante de avance será entonces el vínculo que los alumnos puedan establecer entre una fracción decimal y el número decimal correspondiente, y en este sentido, que logren adentrarse en el análisis del valor posicional de las cifras que se ubican a la derecha de la coma. Tal como se señaló a propósito de los números fraccionarios, el aprendizaje de los números decimales implica una ruptura con muchas de las certezas construidas por los niños a propósito de los números naturales.

Un primer acercamiento al trabajo con los números decimales puede darse a partir de la exploración de notaciones en el contexto del dinero (pesos y centavos) y de las medidas de longitud (metros y centímetros). Es central tener en cuenta que esas escrituras de números con coma no son estrictamente números decimales, pues se trata de escrituras que admiten solamente dos o tres lugares después de la coma. Se espera que los niños progresivamente vayan desprendiéndose de esos contextos para avanzar hacia el trabajo con números con varias cifras después de la coma, de manera de poder analizar cuestiones de orden y de densidad. Finalmente se busca también que los niños avancen en la construcción de diversas estrategias para operar con expresiones decimales.

Como ya ha sido señalado, la evolución en los niveles de progresión que a continuación se desarrollan podrá aparecer bajo la condición de que los alumnos hayan participado en situaciones sostenidas y sistemáticas de enseñanza para cada clase de problemas.

Progresiones de los aprendizajes a lo largo del segundo ciclo


Nivel I Nivel II Nivel III
Usa números con coma en el contexto del dinero para leer y escribir cantidades expresadas en pesos y reconoce la equivalencia entre diversas escrituras. Por ejemplo, que 50 centavos es igual a $0,50 y $0,5. Reconoce que una fracción decimal puede escribirse como una suma de fracciones decimales.

Por ejemplo, que $$\frac{54}{100}$$ = $$\frac{50}{100}$$ + $$\frac{4}{100}$$ = $$\frac{5}{10}$$ + $$\frac{4}{100}$$.

Reconoce la equivalencia entre la escritura de fracciones decimales y los números decimales.

Por ejemplo, reconoce que $$\frac{1}{10}$$ corresponde a 0,1; $$\frac{2}{10}$$ a 0,2; $$\frac{45}{100}$$ a 0,45; $$\frac{15}{10}$$ a 1,5, etc.

Lee y escribe números decimales usando las denominaciones “décimos”, “centésimos”, “milésimos”.
Compone y descompone una cantidad de dinero usando monedas de distintos valores. Por ejemplo, encuentra dos maneras distintas de formar $2,75. Compone y descompone números decimales usando sumas de fracciones decimales. Por ejemplo, resuelve 4,34 como 4 + $$\frac{3}{10}$$ + $$\frac{4}{100}$$; o $$\frac{3}{10}$$ + $$\frac{6}{100}$$ + $$\frac{9}{1.000}$$ como 0,369.

Resuelve problemas que involucran el análisis del valor posicional en la notación decimal. Por ejemplo, reconoce que para obtener 4,03 a 4,53 hay que restarle 0,5.		 Compone y descompone números decimales usando sumas de fracciones decimales en cálculos que exijan establecer relaciones y reagrupamientos entre posiciones. Por ejemplo, $$\frac{3}{100}$$ + $$\frac{21}{10}$$ + $$\frac{4.800}{1.000}$$
Compara números con coma en el contexto del dinero, apoyándose en qué valor de moneda indica cada posición. Por ejemplo, reconoce que $0,5 no es igual a $0,05. Compara y ordena expresiones decimales, teniendo en cuenta el valor posicional de las cifras. Por ejemplo logra reconocer que 0,5 es mayor que 0,49 porque $$\frac{5}{10}$$ es mayor que $$\frac{4}{10}$$. Compara y ordena expresiones fraccionarias y decimales.
Usa números con coma en el contexto de la medida de longitudes para leer y escribir cantidades expresadas en metros y centímetros, y reconoce la equivalencia entre diversas escrituras. Por ejemplo, que 1,56 m es igual a 1 m y 56 cm o 156 cm. Establece la equivalencia entre fracciones con denominador 2, 4, 5; fracciones decimales y números decimales. Por ejemplo, reconoce que $$\frac{1}{4}$$ = $$\frac{25}{100}$$ = 0,25. Reconoce que el cociente entre numerador y denominador de una fracción puede expresarse como un número con coma.

Reconoce cuáles son las fracciones que no se pueden expresar como una fracción decimal. Por ejemplo, reconoce que $$\frac{1}{3}$$ no puede expresarse con una fracción equivalente con denominador potencia de 10, ya que ninguna potencia de 10 es múltiplo de 3.

En situaciones colectivas se exploran las expresiones decimales periódicas, se establecen relaciones con las fracciones que no pueden expresarse como fracción decimal, y se verifica que cuando se divide numerador por denominador se obtiene un cociente con cifras decimales que se repiten indefinidamente.

Por ejemplo:
Anticipen cuántos lugares después de la coma tendrán los siguientes números escritos en forma decimal y expliquen cómo se dieron cuenta. Verifíquenlo con la calculadora.

$$\frac{1}{3}$$    $$\frac{7}{5}$$    $$\frac{3}{7}$$    $$\frac{3}{4}$$    $$\frac{1}{8}$$

Determina la ubicación de números decimales y fracciones decimales en una recta numérica a partir de distintas informaciones.

Por ejemplo, resuelve actividades como las siguientes:
  • Ubicar en la recta 3,2; 3,25 y $$\frac{31}{10}$$
  • Ubicar en esta recta los números 2; 2,7; 1 entero con 200 centésimos y $$\frac{13}{10}$$

Resuelve problemas que exigen analizar la densidad en el conjunto de los números racionales.

Por ejemplo, logra encontrar números decimales que se encuentren entre 3,4 y 3,5; entre 2,14 y 2,15; o logra encontrar fracciones con denominador 100 que se encuentren entre 1,6 y 1,7.
Resuelve cálculos de suma y resta con números decimales en el contexto de medidas de dinero y longitud, usando procedimientos diversos.

Dispone de un conjunto de resultados memorizados o que puede recuperar u obtener con cierta facilidad.

Por ejemplo:

0,50 + 0,50 = 1

0,25 + 0,25 = 0,50

0,50 + 0,25 = 0,75
Resuelve cálculos mentales que implican sumas o restas de 0,1; 0,01; 0,001 a cualquier número, apoyándose en el valor posicional de las cifras. Resuelve cálculos de suma y resta que combinan números decimales y fracciones decimales o fracciones equivalentes a fracciones decimales. Por ejemplo, resuelve 0,3 + $$\frac{1}{4}$$ como $$\frac{3}{10}$$ + $$\frac{1}{4}$$ o como 0,3 + 0,25.
Dispone de recursos de cálculo que permiten averiguar uno de los sumandos, dados el otro y el resultado en el contexto de dinero. Por ejemplo, completa cálculos como $1,50 + …… = $2 o $1,75 + …… = $3. Dispone de recursos de cálculo que permiten averiguar uno de los sumandos, dados el otro y el resultado entero. Por ejemplo, completa cálculos como 0,84 + …… = 2; o 0,345 + …… = 1.

Resuelve cálculos exactos y aproximados de suma y resta de números decimales usando diversos procedimientos de cálculo mental e incluyendo los algoritmos convencionales.
Multiplica y divide mentalmente una expresión decimal por una potencia de 10. Analiza en forma grupal las estrategias utilizadas.

Multiplica números decimales por enteros apoyándose en diversos procedimientos.

Por ejemplo, para resolver 0,4 × 3 hace 0,4 + 0,4 + 0,4; o se apoya en que 4 décimos por 3 son 12 décimos, que se escribe 1,2; razona que $$\frac{4}{10}$$ × 3 es igual a $$\frac{12}{10}$$ = 1,2, etc. 		Multiplica números decimales entre sí en el contexto de la proporcionalidad directa.

Por ejemplo:
Si 1 kg de queso cuesta $141,25, ¿cuánto costarán 3,25 kg?

En forma colectiva, analiza y fundamenta el funcionamiento del algoritmo de la multiplicación de números decimales, buscando la relación entre la multiplicación de fracciones decimales y la multiplicación de números decimales.
Resuelve problemas que implican repartir el resto en el contexto de dinero o de medidas de longitud, y usa expresiones decimales para expresar el resultado de ese reparto.

Por ejemplo, divide $25 entre 4 personas y concluye que le corresponden $6,25 a cada uno, considerando que $1 dividido entre 4 es igual a $0,25. 		Resuelve cálculos de división exacta, dividiendo el resto y expresando el resultado como una expresión decimal. Para hacerlo se apoya en las equivalencias entre enteros, décimos y centésimos.

Por ejemplo, establece que, si el resto en una división entera es 3, para seguir dividiendo es pertinente considerarlo como 30 décimos, y escribir el resultado de dividir 30, en el primer lugar después de la coma, es decir, en el lugar de los décimos.

Divide números decimales entre sí. En forma colectiva, analiza y fundamenta el funcionamiento del algoritmo de la división de números decimales.

Resuelve problemas de varios pasos que incluyen operaciones con números racionales.

Actividades para relevar los aprendizajes


Se incluyen aquí algunos ejemplos de problemas que permiten recabar información sobre el estado de conocimiento de los alumnos en relación con los números decimales. Como ya se ha comentado, es importante observar su desempeño en la resolución grupal de problemas, analizar el tipo de intervenciones y preguntas que hacen y los comentarios o explicaciones que pueden dar de su trabajo, así como también plantear momentos específicos de trabajo individual que permitan mirar más detenidamente la producción de cada uno.

A continuación, se ofrecen ejemplos de situaciones posibles. Algunas actividades contienen varios ítems a ser resueltos por los alumnos, que suelen implicar diferente complejidad. La elección de cuáles actividades e ítems podrían servir para relevar los aprendizajes de un grupo particular de alumnos tiene que guardar relación con el tipo de problemas y el rango numérico trabajado (décimos, centésimos o milésimos).

Es importante pedir a los alumnos que registren de alguna manera el procedimiento que llevaron a cabo para la resolución de cada problema y no solo la respuesta.

Escribí al lado de cada fracción decimal, el número decimal que le corresponde.
$$\frac{1}{10}$$ $$\frac{5}{10}$$ $$\frac{15}{10}$$ $$\frac{2}{100}$$
$$\frac{75}{100}$$ $$\frac{105}{100}$$ $$\frac{8}{1.000}$$ $$\frac{18}{1.000}$$
Es importante observar si el alumno puede resolver todas las escrituras propuestas o solo algunas. En este último caso, es necesario analizar cuáles, pues cada una de ellas implica una complejidad diferente:

  • Los ejemplos presentes abarcan desde décimos hasta milésimos.

  • Algunos implican considerar la existencia de enteros (como el caso de $$\frac{15}{10}$$, por ejemplo).

  • Otros implican reagrupamientos (por ejemplo en el caso de $$\frac{75}{100}$$ hay que considerar que 7 ocupa el lugar de los décimos). En los reagrupamientos pueden aparecer algunos errores: por ejemplo, escribir 0,075 en el caso de $$\frac{75}{100}$$ sin tener en cuenta que $$\frac{70}{100}$$ forman 7 décimos, es decir, 0,7.

Completá en cada caso con los signos mayor, menor o igual y explicá cómo te diste cuenta cuál corresponde.

  1. $$\frac{1}{10}$$ + $$\frac{3}{1.000}$$ =

  2. 2 + $$\frac{1}{100}$$ + $$\frac{3}{1.000}$$ =

  3. 2 + $$\frac{2}{10}$$ + $$\frac{5}{100}$$ =

  4. $$\frac{4}{10}$$ + $$\frac{13}{100}$$ =

  5. $$\frac{28}{10}$$ + $$\frac{14}{100}$$ =
Es importante observar si el alumno puede resolver todas las escrituras propuestas o solo algunas. En este último caso, es necesario analizar cuáles, pues cada una de ellas implica una complejidad diferente.

La consigna apunta a componer números decimales a partir de fracciones decimales, incluyendo tanto aquellas que tienen numerador de una cifra, como otras que tienen numeradores mayores, y que exigen, por lo tanto, considerar la relación entre las diversas posiciones y hacer reagrupamientos, como en los ítems d) y e). Por ejemplo, el ítem e) requiere considerar al $$\frac{28}{10}$$ como $$\frac{20}{10}$$ + $$\frac{8}{10}$$, es decir como 2 + 0,8 = 2,8 y el $$\frac{14}{100}$$ como $$\frac{10}{100}$$ + $$\frac{4}{100}$$, o sea como 0,1 + 0,04 = 0,14. En total el número decimal es 2,94. El ítem d) requiere también esa consideración para el caso de $$\frac{13}{100}$$.

En los casos de los ítems a) y b), las fracciones presentadas exigen que el niño considere la inclusión de ceros en algunas posiciones.

Escribí al lado de cada fracción decimal, el número decimal que le corresponde.
a) 3,04 …… 3,25 c) 18,25 …… 18,7 e) 23,7 …… 23,07
b) 6,5 …… 6,45 d) 3,3 …… 3,30 f) 2,1 …… 2,01
Cada uno de los pares de números decimales presentados permite poner en juego relaciones diferentes. Por eso, resulta particularmente importante analizar la explicación que el niño brinde para interpretar a cuáles de esas relaciones está recurriendo. En todos los casos, la cantidad de enteros es la misma y esto exige la consideración de la parte decimal del número.

El ítem a) es el que puede resultar más sencillo dado que implica la comparación entre 04 y 25.

En los casos de los ítems b) y c), se pone en juego una cuestión muy compleja de los números decimales, y que implica una ruptura con lo aprendido a propósito de los números naturales: no siempre los números que tienen mayor cantidad de cifras resultan números más grandes. En este caso justamente los números más grandes tienen menor cantidad de cifras en la parte decimal.

En el caso del ítem d) es necesario considerar la equivalencia entre tres décimos y treinta centésimos. Es posible que el niño sostenga que esas dos escrituras son equivalentes apoyándose en diferentes conocimientos. Puede, como se dijo, considerar la equivalencia entre décimos y centésimos. También puede expresar explicaciones del estilo “los ceros de atrás no valen nada”, etc.

Los ítems e) y f ) implican tener en cuenta que el 7 (o el 1) ubicado en diferentes posiciones adquiere un valor distinto.

Resolvé mentalmente los siguientes cálculos. Explicá cómo pensaste cada uno.
a) 5,80 + 3,20 = ………… c) 12,25 + ………… = 20, 4 e) 4,30 x 3 = …………
b) 0,75 + ………… = 5 d) 5 – 1,30 = ………… f) 5,90 x 3 = …………
A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno encuentra una respuesta correcta usando:

  • Alguna estrategia de cálculo mental. Por ejemplo para el ítem a), considera que 80 centésimos más 20 centésimos forman 100 centésimos, o sea un entero, y usa ese entero para sumarlo a los 8 enteros que ya hay. En los ítems b) o c), completa los centésimos para llegar al entero más próximo y luego sigue sumando enteros. En el caso del ítem d) podría considerar restar los enteros y llegar a 4, para luego a 4 sacarle 30 centésimos (puede considerar que cada entero son 100 centésimos). Para resolver las multiplicaciones, podrían multiplicarse los enteros por un lado y los centésimos por el otro, haciendo luego las reagrupaciones necesarias.

  • Algoritmos, ya que si bien la consigna pide que se realicen cálculos mentales, es posible que algunos niños utilicen el algoritmo. En tal caso sería importante indagar si el alumno solo puede operar con el algoritmo, o cuenta con otros recursos.

En caso de que aparezcan errores, es importante analizarlos. Algunos alumnos podrían no considerar la necesidad de efectuar los reagrupamientos, tanto en el caso de los cálculos mentales como de los algoritmos. Por ejemplo, en el caso a) poner como resultado 8,100, etc.

Encontrá, en cada caso y si es posible, 3 números racionales que estén entre los dos números dados.
a) 5 y 6 b) 5,7 y 5,8 c) 2,34 y 2,35
A partir de las resoluciones se puede observar si el alumno:

  • No logra encontrar los números pedidos y sostiene que no es posible en todos o en alguno de los casos. Será necesario determinar en qué intervalos presenta dificultades. Puede ser que encuentre respuestas correctas para el ítem a), pero no pueda hacerlo con los ítems b) y c). El ítem c) es más complejo pues requiere usar milésimos.

  • Logra encontrar correctamente en todos los casos tres números posibles.

Ejemplos de situaciones didácticas e intervenciones docentes


Como se señala en el Diseño Curricular, los números racionales –escritos en forma decimal o fraccionaria– ocupan un lugar central en el trabajo de enseñanza en el segundo ciclo. Se trata de un campo de contenidos complejo, que supone rupturas importantes con los aprendizajes que los alumnos vienen elaborando desde el primer ciclo en relación con los números naturales. Una ruptura esencial entre los números naturales y los números racionales se refiere a las diferencias entre lo que ocurre cuando se comparan o se ordenan números en ambos conjuntos:

  • En los racionales la idea de sucesor no tiene sentido. Un número natural tiene un sucesor (después de 7, viene 8) pero esta idea carece de sentido en los números racionales: ¿qué número fraccionario viene luego de $$\frac{1}{2}$$? ¿Y luego de 2,75?

  • Las situaciones que exigen intercalar números entre otros dados no tienen el mismo tipo de solución en ambos conjuntos: entre dos naturales dados hay un número finito de otros naturales; entre dos racionales hay infinitos números racionales. Si se toman las expresiones decimales 0,5 y 0,6 es posible considerar que 0,55 está entre ambos, pero es posible seguir buscando números decimales para ese intervalo, por ejemplo: 0,51; 0,501; 0,5001; 0,500000000001; etcétera. Este proceso puede seguirse indefinidamente. El conjunto de los números racionales es un conjunto denso.

  • Las reglas de comparación entre números racionales son muy distintas de las que se ponen en juego para comparar números naturales: entre los naturales, un número es mayor que otro si tiene mayor cantidad de cifras; entre los números racionales esta regla no funciona siempre. Por ejemplo, 0,65765 es menor que 0,7 y $$\frac{1}{1000}$$ es menor que $$\frac{1}{99}$$. En el caso de las fracciones, si se comparan dos que tienen el mismo numerador, resulta mayor aquella que tiene el denominador menor.

Otra ruptura importante entre ambos conjuntos numéricos tiene que ver con el funcionamiento de las operaciones. En el caso de la multiplicación, en el campo de los naturales, el resultado de una multiplicación es siempre mayor o igual que cada uno de los factores. Entre los racionales, el resultado de una multiplicación no necesariamente es mayor o igual a los factores: si se multiplica por un número menor que 1, el resultado es menor. Lo mismo sucede en el caso de la división, al dividir por un número menor a 1, el resultado obtenido es mayor que el dividendo.

Una diferencia a tener en cuenta se refiere a las escrituras equivalentes. Hay infinitas maneras diferentes de escribir un mismo número racional en forma fraccionaria, por ejemplo: $$\frac{6}{3}$$ = $$\frac{4}{2}$$ = $$\frac{2}{1}$$ = $$\frac{32}{16}$$ = $$\frac{100}{50}$$, etcétera. Si bien entre los números naturales también es posible escribir una misma cantidad de diferentes maneras involucrando cálculos (6 = 3 × 2 = 5 + 1 = 4 + 2), la diferencia central es que los números racionales son divisiones, y esa marca del número como operación queda expresada en la escritura; en tanto no es imprescindible –mucho menos en el uso cotidiano– anotar un número natural involucrando un cálculo. Es decir, detrás del reconocimiento de fracciones equivalentes está la idea –muy poco explicitada– de que se trata de divisiones que “dan” el mismo resultado, o, en otros términos, que “mantienen” la misma proporción entre numerador y denominador. Los niños vienen de una larga experiencia con los números naturales en la que no se ven confrontados con esa complejidad. Cuando se explicitan los signos aritméticos que ellos reconocen como tales, resulta más fácil que sea admitida esa expresión como una escritura equivalente. Por ejemplo, eso podría suceder entre $$\frac{1}{4}$$ + $$\frac{1}{4}$$ = $$\frac{2}{4}$$, o 2 × $$\frac{1}{4}$$ = $$\frac{2}{4}$$. Muy distinto es cuando se trata de reconocer fracciones equivalentes, dado que deben aceptar que dos números –que se forman con números naturales diferentes y entre los que no reconocen ningún signo aritmético identificable– representan la misma cantidad.

Cuando se inicia el trabajo sistemático en la enseñanza con los números racionales en el segundo ciclo, los niños ya traen mucha experiencia de trabajo con los números naturales y suelen generalizar aquello que aprendieron para los naturales extendiéndolo al campo de los racionales. Así se explican muchos de los errores habituales que aparecen durante su aprendizaje. A partir de esta reflexión, algunas consideraciones generales a tener en cuenta durante la enseñanza:

  • Es importante explicitar, a partir de las discusiones variadas durante el trabajo con los problemas, las diferencias entre ambos conjuntos numéricos. A continuación, se presentan algunos ejemplos de conclusiones registradas a partir de discusiones colectivas.


  • Existe gran cantidad de métodos y reglas en el campo de los números fraccionarios: para resolver cálculos, para buscar equivalencias, para encontrar la fracción de una cantidad entera, etc. No es necesario, e incluso puede resultar un obstáculo importante para la construcción del sentido, presentarlos a todos ellos en la enseñanza. Si se introducen desligados de los procedimientos particulares desplegados por los niños para resolver situaciones, los alumnos suelen memorizarlos mecánicamente, con lo cual los olvidos y las confusiones son muy frecuentes. Entonces, como se señaló también en relación con los números naturales, la presentación de algoritmos y métodos tiene que estar precedida y apoyada por un fuerte trabajo de cálculo mental y de despliegue de estrategias diversas. En ese sentido, las actividades en el aula con los números racionales son oportunidades para poner en juego aspectos del trabajo matemático muy formativos para los alumnos: generar leyes para comparar números, establecer la verdad o falsedad de afirmaciones, analizar la equivalencia de diversas expresiones numéricas.

Intervenciones de enseñanza


La comprensión de las notaciones decimales abarca una complejidad de asuntos que implica un aprendizaje a largo plazo y se extiende más allá de la escuela primaria. En efecto,conocer la notación decimal supone poder movilizar estas escrituras numéricas frente a la diversidad de situaciones en las cuales intervienen. Supone también conocer el valor que representan, sus relaciones con otras escrituras y con otros números, comprender las reglas de organización del sistema notacional, su funcionamiento en cálculos, etc.

  • Las propuestas de actividades en el contexto del dinero, con billetes y monedas, son un recurso valioso para el inicio del trabajo con números con coma y permiten dar sentido a esos “nuevos números”. La escritura y lectura de precios y su relación con los billetes y las monedas que se necesitan para formar cantidades permite un primer acercamiento a la forma de escritura de estos números. La familiaridad con ese contexto les permite a los niños hacer anticipaciones y controlar sus producciones. Control que todavía no es posible hacer de otra manera ya que aún no tienen dominio de las relaciones matemáticas involucradas. Así, en discusiones con los niños, pueden producir afirmaciones como: “A la izquierda de la coma se escriben los pesos, y a la derecha están los centavos, que es menos que un peso; de un lado se escriben los pesos y del otro lado los centavos”. “En $50,50 el 50 que está antes de la coma son cincuenta pesos y el otro cincuenta son centavos”. Una cuestión a tener en cuenta es que los niños suelen concebir los números decimales como si fueran dos enteros separados por una coma, como si constituyeran partes independientes. El trabajo posterior en el aula tendrá que permitir que construyan las relaciones entre la parte decimal y la parte entera, es decir, comprender que en la escritura decimal el “último entero está partido” en 10, 100, 1.000, 10.000 partes que se escriben luego de la coma.

    • En el trabajo con dinero, una cuestión compleja es pasar de las denominaciones en centavos: 10, 25, 50 centavos, a la escritura de esas cantidades en la unidad pesos: $0,10; $0,25; $0,50 (teniendo en cuenta, además, que cada vez hay menos presencia de ese tipo de escritura en las situaciones cotidianas). Probablemente resulten más familiares las escrituras de precios que combinan pesos y centavos, como $45,50; por ejemplo. Por eso es importante proponer en el aula actividades que permitan componer una cantidad con pesos y centavos, establecer equivalencias de escrituras para una misma cantidad y nombrar y escribir números con coma cuando se trata de precios. Por ejemplo, es posible desarrollar actividades como las siguientes:



    1. En la tabla siguiente figuran los precios de algunos artículos de librería.

      2. Nombre Precio en letras
      Cuaderno común Treinta y siete pesos con cincuenta centavos
      Caja de lápices color x 6 Once pesos con setenta y cinco centavos
      Lapicera pluma Cuarenta y cuatro pesos con veinticinco centavos
      Cola vinílica Trece pesos con cuarenta centavos

    2. Hay que terminar de armar la vidriera. Completá los carteles con los precios en números de cada artículo.


    1. Usando monedas de los siguientes valores:


      • Escribí tres maneras de pagar $3,75. Tené en cuenta que se pueden usar varias monedas del mismo valor, según necesites. Si te resultara útil, podés dibujar.
      • Anotá tres maneras diferentes de formar $2,50 y $4.
      • Si en un monedero hay 5 monedas de 10 centavos, 4 monedas de 25 centavos y 7 monedas de 50 centavos, ¿cuánto dinero hay?
      • Hay que terminar de armar la vidriera. Completá los carteles con los precios en números de cada artículo.

    2. ¿Cuántas monedas de 25 centavos forman una de 50 centavos?.......................................................................
      ¿Cuántas monedas de 50 centavos forman una de $1?.....................................................................................
      ¿Cuántas monedas de 10 centavos forman una de $1?.....................................................................................

    A partir del trabajo con dinero, es recomendable dejar registro de las relaciones establecidas. Por ejemplo, las formas de componer $1.

    Cartulina roja

    Una dificultad particular que puede aparecer en este tipo de trabajo es que muchas veces los alumnos identifican a las escrituras 0,1 y 0,01 como equivalentes (por ejemplo, al pedirles que escriban en pesos 1 centavo). Como contracara, también puede suceder que se nieguen a aceptar entonces que 0,10 y 0,1 representan ambos 10 centavos o incluso 0,5 o 0,50 para 50 centavos. En relación con esto, hay que tener en cuenta que ni $0,1 ni $0,5 son escrituras habituales en el contexto social. Una intervención interesante en ese sentido es proponer el uso de la calculadora. Por ejemplo, si se parte de una situación como la siguiente: ¿Cuánto es $1 repartido entre 10 personas? ¿Cuánto le corresponde a cada uno?; y ¿1 peso repartido entre 2 personas? Escribí la respuesta usando $. Frente a la diversidad de respuestas: 10 centavos; $0,10; $0,1; $0,50; 50 centavos, realizar con la calculadora las divisiones correspondientes (1 : 10 o 1 : 2) permite poner en discusión la equivalencia entre 0,10 y 0,1 o entre 0,5 y 0,50. Es posible que circulen afirmaciones como estas: “Estos dos números (por 0,1 y 0,10) son iguales por que vienen de la misma cuenta, 1 peso dividido 10 da 10 centavos”; “Si ya sé que un peso entre dos son cincuenta centavos para cada uno, si la calculadora pone de resultado de la división 0,5 tiene que ser lo mismo, porque son la misma cuenta”. Estas afirmaciones permiten ya realizar una primera sistematización respecto de la equivalencia entre escrituras diferentes de una misma cantidad (que más adelante tendrá que ser profundizada a partir del vínculo entre la escritura decimal y las fracciones decimales). Por ejemplo:

    Cartulina roja

    Otro acercamiento a la notación decimal puede realizarse a partir del contexto de las medidas de longitud. Por ejemplo, pueden plantearse actividades iniciales como la siguiente:

    La profe de Educación Física tenía registrada la altura de sus alumnos. Para una coreografía que está armando necesita ordenarlos de menor a mayor. En la última columna, escribí el orden en que quedaría cada alumno: quién 1º, quién 2º… y así todos.


    En este caso, se trata de que los alumnos asocien la expresión 145 cm con 1 m con 45 cm y la designación decimal 1,45 m.

    Es importante resaltar que hay algunas diferencias entre el uso de dinero o de medidas de longitud cuando se utilizan en la enseñanza. En el contexto del dinero, se pueden plantear situaciones de reparto (por ejemplo, repartir $1 entre 10 personas). El trabajo con dinero también puede implicar establecer una medida, por eso se puede discutir qué parte de $1 son 10 centavos. Sin embargo, es un contexto con un funcionamiento “raro” respecto de otros contextos de medida y de reparto: el peso que se “reparte” tiene que ser “canjeado” para poder repartirse (no es como repartir chocolates o una tira de tela). Por eso la reconstrucción del entero a partir de los décimos es una reconstrucción del valor y no del objeto físico. En cuanto a la medición, el dinero mide “valor” que resulta, como magnitud, más extraña que, por ejemplo, la longitud.

    A la vez que se señala el potencial del contexto del dinero y la medida como sostén inicial de un conjunto de relaciones, es necesario identificar sus límites. El dinero –y todos los contextos de medida– trabaja con una cantidad finita de subdivisiones decimales (en el dinero lo usual es hasta el centavo, en la medida hasta el milímetro). Por otro lado, los números, en estos contextos, siempre pueden ser leídos apelando a dos unidades de medidas diferentes, una para la parte entera y otra para la parte decimal, “convirtiéndolos” en dos números enteros (pesos y centavos, kilos y gramos, metros y centímetros o milímetros, etcétera). De esta forma, los contextos del dinero y de la medida admiten sortear la complejidad de la interpretación de la notación decimal. Progresivamente, se deberá descontextualizar el tratamiento de los números decimales y avanzar en el análisis de sus propiedades específicas para abordar una característica central: su densidad. Este pasaje de las escrituras decimales en el contexto del dinero y la medida al análisis del funcionamiento “puramente matemático” no es sencillo ni automático, requiere intervenciones específicas. En este proceso, el trabajo con las fracciones decimales y su relación con la escritura decimal juega un rol fundamental, tanto para comprender la forma de notación y sus propiedades, como para dar sentido a los algoritmos de las operaciones.

  • El trabajo con fracciones decimales resulta central para profundizar la comprensión de los niños respecto de la notación decimal. Las fracciones decimales permiten avanzar sobre la comprensión del valor posicional de las cifras decimales, y entonces también, sobre las equivalencias entre escrituras. Por ejemplo, la equivalencia entre $$\frac{5}{10}$$ y $$\frac{50}{100}$$ permite comprender la equivalencia entre 0,5 y 0,50. El uso de representaciones gráficas puede resultar una intervención potente para avanzar en ese sentido. Se podría presentar un dibujo como el siguiente que representa un entero dividido en 10 partes, y pedir que se marque allí la décima parte o un décimo.

    Cuadrado

    Debe quedar claro, entonces, que lo marcado representa $$\frac{1}{10}$$, pues 10 de esas partes conforman el entero. Una vez que se ha establecido qué parte representa $$\frac{1}{10}$$ de ese entero, se podría pedir a los niños que marquen la décima parte de ese décimo, es decir que partan en diez partes el décimo.

    Cuadrado2

    Entonces, se puede preguntar qué parte del entero total es esa “partecita” marcada. La intención es llegar a la conclusión de que resulta $$\frac{1}{100}$$ del total. Según qué división se considere, se puede pensar el mismo entero como $$\frac{10}{10}$$ o $$\frac{100}{100}$$.

    En ese mismo gráfico se puede analizar que 10 de esas partes pequeñas constituyen a su vez $$\frac{1}{10}$$ del entero también. Por lo tanto, $$\frac{10}{100}$$ resulta la misma parte que $$\frac{1}{10}$$ del entero para concluir que un décimo es igual a diez centésimos. Es muy importante que el docente escriba también esas relaciones en forma numérica: $$\frac{1}{10}$$ = $$\frac{10}{100}$$. Este trabajo permite considerar la relación de equivalencia entre fracciones con denominador 10 y 100, que se podrá extender próximamente a fracciones con denominador 1.000. Luego, es necesario avanzar también con la escritura de estas equivalencias en forma de cálculo: 10 × $$\frac{1}{10}$$ = 1; 10 × $$\frac{10}{100}$$ = 1; 10 × $$\frac{1}{100}$$ = $$\frac{1}{10}$$.

    Estas primeras equivalencias permiten avanzar hacia otras como $$\frac{7}{10}$$ = $$\frac{70}{100}$$ = $$\frac{700}{1.000}$$, etcétera. Así, un modo de pensar la relación anterior es: si cada décimo se parte en 10, se obtienen centésimos. Por cada décimo se obtendrán 10 centésimos, por lo tanto los 7 décimos equivaldrán a 70 centésimos.

    Un momento importante será, luego de este trabajo, la explicitación que el docente haga de la forma de escritura con coma de esas expresiones, escrituras que ya han surgido en el trabajo con dinero y/o con medidas de longitud. Es conveniente que estas relaciones se registren en carteles para el aula y en las carpetas de los alumnos. Por ejemplo:

    Cartulina amarilla

    Se podrá avanzar luego sobre la escritura de otras fracciones decimales en forma de número decimal. Por ejemplo: $$\frac{2}{10}$$ como 0,2; $$\frac{3}{10}$$ como 0,3; $$\frac{2}{100}$$ como 0,02; $$\frac{3}{100}$$ como 0,03, $$\frac{15}{10}$$ como 1,5; $$\frac{150}{100}$$ como 1,50. Estas últimas resultan más complejas y necesitan un momento de reflexión particular ya que implican “ocupar la parte entera del número”.

    La relación entre números decimales y fracciones decimales es un apoyo importante que puede ofrecer el docente para establecer la equivalencia entre escrituras de números con coma (por ejemplo, 4,3 = 4,30) para comparar escrituras o para resolver cálculos. Se trata de intervenir para que se establezca la relación entre el significado de cada cifra de la notación decimal y la fracción correspondiente. Así, en 0,4 y 0,40, la parte decimal en un caso es $$\frac{4}{10}$$ y en el otro puede ser representada como $$\frac{40}{100}$$, que resultan fracciones equivalentes. La intención es que los niños avancen desde explicaciones del estilo: “El cero a la derecha en estos números no importa, por eso 0,4 y 0,40 es lo mismo” o “Ese cero no importa, podés agregar todos los que quieras”, a explicaciones apoyadas en razones como: “El 4 está ubicado en el lugar de los décimos y en el lugar de los centésimos no hay nada, entonces en 0,40 hay solo 4 décimos”; o: “4 décimos y 40 centésimos son equivalentes”.

  • Es fundamental proponer problemas que impliquen analizar el valor posicional de las cifras en los números decimales. Los niños deben determinar el valor de cada cifra que compone una escritura con coma en función de la posición que ocupa: en el primer lugar después de la coma se escriben los décimos; en el segundo, los centésimos; en el tercero, los milésimos. Tendrán que reconocer las relaciones de valor entre posiciones contiguas y no contiguas de las cifras.

    • Hay que tener en cuenta que la numeración posicional no es estrictamente paralela de los dos lados de la coma. Por ejemplo, tres cifras son necesarias para escribir las centenas, pero dos cifras alcanzan para escribir los centésimos. Por otra parte, si bien decena y décimo “suenan parecido”, como también centena y centésimo, la relación que hay entre decena y centena (10 decenas forman una centena) es inversa a la que ocurre entre décimos y centésimos (son 10 centésimos los que forman un décimo). Los niños no integran de manera inmediata, en una única explicación, el valor posicional de las cifras de la parte entera y la parte decimal. Es decir, la comprensión del valor posicional en las escrituras de los números naturales no habilita a que, automáticamente, se comprenda la organización posicional de los números decimales bajo una misma organización de agrupamientos recursivos de base diez.

    Para que los niños avancen en el análisis del valor posicional de las cifras decimales, es posible proponer actividades como la siguiente.

    Escribí un número formado por:

    1. 8 décimos, 2 milésimos, 9 centésimos
    2. 3 enteros, 5 décimos, 3 milésimos
    3. 1 entero, 1 milésimo
    4. 2 décimos, 3 milésimos
    5. 12 décimos, 15 centésimos
    6. 24 centésimos, 24 milésimos
    Los puntos e) y f) del ejemplo anterior son más complejos que los anteriores pues exigen establecer relaciones entre distintas posiciones. Por ejemplo, 12 décimos, 15 centésimos podría pensarse como 10 décimos + 2 décimos y como 10 centésimos + 5 centésimos, lo que equivale a 1 entero (por los 10 décimos) + 2 décimos + 1 décimo (por los 10 centésimos) + 5 centésimos, o sea, 1 entero + 3 décimos + 5 centésimos.

  • Una intervención valiosa consiste en proponer sistemáticamente actividades que exijan encontrar diferentes escrituras posibles para un mismo número decimal. Se trata finalmente de que los niños tengan oportunidad de reconocer, por ejemplo, que 0,587 se puede escribir también como:

    • $$\frac{5}{10}$$ + $$\frac{8}{100}$$ + $$\frac{7}{1.000}$$

    • 0,5 + 0,08 + 0,007

    • 5 x $$\frac{1}{10}$$ + 8 x $$\frac{1}{100}$$ + 7 x $$\frac{1}{1.000}$$

    • 5 × 0,1 + 8 × 0,01 + 7 × 0,001

    • $$\frac{58}{100}$$ + $$\frac{7}{1.000}$$

    • $$\frac{57}{100}$$ + $$\frac{17}{1.000}$$

    • 0,57 + 0,017

    Si bien en este documento se plantean intervenciones para el trabajo con los números decimales por un lado y para las fracciones por otro, en varios pasajes se mencionó la importancia de establecer relaciones entre distintas formas de representación. La comprensión de los números racionales será más profunda en la medida en que los niños logren relacionar las diferentes formas de representarlos (por ejemplo, que puedan establecer la equivalencia entre $$\frac{3}{4}$$; 0,75; 75%; $$\frac{75}{100}$$). Es tarea de la enseñanza generar las oportunidades para establecer estas relaciones. Por otra parte, no se trata solo de reconocer las diferentes escrituras, sino de poder elegir cuál es más pertinente según la tarea a resolver.

  • Cuando se proponen situaciones en el contexto del dinero, los niños empiezan a realizar cálculos. Por ejemplo, cuando hay que componer cantidades con distintos billetes y monedas, los niños están operando, aunque no lo expresen como un cálculo. El docente podrá proponer escrituras del estilo $0,50 + 0,50 + 0,50 = $1,50 o incluso $0,50 × 3 = $1,50. Esto es valioso porque permite una entrada a las operaciones con decimales conservando el sentido: la escritura de la operación representa un cálculo que el alumno ya realizó y por eso conoce el resultado.

  • Como ya se sostuvo a propósito de los números naturales, el trabajo con el cálculo mental cobra una importancia central. Implica, por un lado, asegurar que los niños construyan un repertorio de cálculos memorizados (0,50 + 0,50 = 1; 0,25 + 0,25 = 0,50; etcétera) que puede sistematizarse en carteles para el aula y la carpeta. Por el otro, implica que los niños produzcan y usen estrategias de cálculo diversas adaptadas a los números en juego.

    • La resolución de actividades de cálculo mental también permite que los alumnos pongan en funcionamiento relaciones que están en juego en las notaciones decimales. Por ejemplo, si se les propone que calculen mentalmente 3 + 0,4 + 0,08 o que agreguen 0,1 a los números 3,27; 4,08 y 7,4 se espera que se apoyen en el valor posicional de la escritura decimal para encontrar el resultado.

    Es posible que al sumar los niños produzcan algunos errores como, por ejemplo, 3,4 + 4,8 = 7,12. Este tipo de errores provienen de tratar a los decimales como dos números enteros separados por una coma, y por lo tanto operar sobre ellos separadamente. Se puede intervenir promoviendo el análisis del valor posicional de cada una de las cifras implicadas. En este caso, se trata de pensar que cuatro décimos más ocho décimos son doce décimos, y, como ya diez décimos es un entero, entonces hay que agregar un entero más. Por lo tanto, esa suma produce 8 enteros y 2 décimos. Este tipo de análisis puede ser retomado también en el trabajo con el algoritmo de la suma.

  • Al igual que en el trabajo con números naturales, la introducción de los algoritmos debe estar apoyada en relaciones que los alumnos fueron estableciendo en actividades anteriores. Luego de haber discutido diferentes estrategias para realizar sumas o restas, el maestro puede proponer la discusión sobre el funcionamiento de los algoritmos. Por ejemplo, puede relacionarse la estrategia utilizada para sumar 3,4 + 4,8, con la organización en columnas que propone el algoritmo: el 1 que se escribe arriba del 3 es el entero que se forma al sumar los 8 décimos más los 4 décimos.

    • Cuenta


    En el algoritmo de la resta pueden aparecen distintos tipos de dificultades. En algunos casos, es posible encontrar errores como el siguiente:

    Cuenta

    En otras situaciones los alumnos resuelven exitosamente el algoritmo agregando un 0 al lado del 3 de 4,3, sin comprender las razones por las cuales lo hacen.



    En ambas situaciones será necesario que el docente intervenga para que los alumnos se apoyen en relaciones trabajadas en clases anteriores para comprender las razones de su error o para dotar de sentido a un mecanismo que funciona. Como 3 décimos es igual a 30 centésimos; entonces 4,3 es igual a 4,30. Si es necesario, podrá apelarse a las relaciones con las fracciones decimales: $$\frac{3}{10}$$ = $$\frac{30}{100}$$. Es decir, acompañar el procedimiento de agregar un cero en el lugar de los centésimos con la explicación de que 3 décimos se “transforman” en su equivalente 30 centésimos permite encontrar razones a lo que se está realizando y controlar los resultados obtenidos. Cuando el docente hace explícito que “agregar un 0” se apoya en relaciones numéricas está transmitiendo que en Matemática hay argumentos que permiten validar procedimientos.

  • En relación con la multiplicación de un número decimal por un entero, inicialmente los alumnos podrán apoyarse en la suma sucesiva. Así, por ejemplo, para resolver 0,35 × 5 podrán hacer 0,35 + 0,35 + 0,35 + 0,35 + 0,35.

    • A partir de allí, se podrá discutir el funcionamiento del algoritmo, apelando en este caso también al valor posicional de las cifras.

    Cuenta

    Para favorecer la comprensión del mecanismo que está en juego, el docente puede referir al valor posicional de las cifras: se trata de multiplicar 35 centésimos por 5, lo que da 175 centésimos y se escribe 1,75.

    La multiplicación de números decimales entre sí no puede concebirse como una suma sucesiva. Es imposible concebir el producto de 4,7 × 2,3 como el número 4,7 repetido 2,3 veces. A lo sumo podrá pensarse que el resultado será menor que 4,7 repetido 3 veces y mayor que 4,7 repetido 2 veces. Para comprender el funcionamiento del algoritmo de la multiplicación de números decimales entre sí es posible proponer a los alumnos diferentes análisis y relaciones:

    • Apoyarse en la multiplicación de fracciones decimales. Por ejemplo:

      2,37 × 1,4 = $$\frac{237}{100}$$ × $$\frac{14}{10}$$ = $$\frac{3.318}{1.000}$$ = 3,318

    • Apoyarse en la descomposición de cada factor en el producto de un número natural por un decimal del tipo 0,1; 0,01; 0,01; etcétera. Entonces, para realizar 1,2 × 0,4 se puede pensar:

      1,2 × 0,4 = 12 × 0,1 × 4 × 0,1 = 12 × 4 × 0,1 × 0,1 = 48 × 0,01 = 0,48.

    Proponer una u otra explicación será decisión del docente en función de la trayectoria del grupo, el tipo de relaciones que se ha venido trabajando, etcétera. Por ejemplo, para realizar el último análisis será central que los alumnos ya tengan disponibles las multiplicaciones por 0,1; 0,01; etcétera. Para ello será necesario proponer actividades como:

    Resolvé los siguientes cálculos usando la calculadora.
    4 ∶ 10 =
    4 × 0,1 =    		 15 ∶ 10 =
    15 × 0,1 =    		 34 ∶ 10 =
    34 × 0,1 =
    ¿Qué pasa con los resultados que obtuviste en las divisiones y en las multiplicaciones?

    La intención de este tipo de propuesta es promover que los niños establezcan la relación entre multiplicar por 0,1 y dividir por 10. De igual manera que multiplicar por 0,01 es lo mismo que dividir por 100. Para que estas relaciones surjan en la clase podrían plantearse en la discusión colectiva preguntas del tipo: ¿Será que siempre dividir por 10 da lo mismo que multiplicar por 0,1? ¿Probamos con otros ejemplos a ver si sigue pasando? ¿Por qué?

  • En cuanto a la división de números decimales por números naturales, el docente puede intervenir para que los alumnos comprendan que al realizar 23,6 ∶ 5, se dividen primero los enteros.


    • Cuenta

    Sobran 3 enteros que no puedo seguir dividiendo entre 5, pero 3 enteros = 30 décimos y como tenía 6 décimos más, tengo que seguir dividiendo 36 décimos:

    Cuenta

    Alcanza para repartir 7 décimos a cada uno y sobra un décimo. Como 1 décimo = 10 centésimos, se continúan dividiendo los centésimos:

    Cuenta

    Entonces hacer 23,6 ∶ 5 da 4 enteros, 7 décimos y 2 centésimos, es decir, 4,72.

    En cuanto a la división entre números decimales, será central que los alumnos comprendan que, para realizar, por ejemplo, 4,2 ∶ 1,6 se puede transformar esa cuenta en 42 ∶ 16 porque ambos números se multiplican por 10. El docente podrá intervenir para explicitar una propiedad de la división: si se multiplican el dividendo y el divisor por un mismo número, no se modifica el cociente.

Como ya se ha señalado, al inicio del trabajo con números decimales el contexto de la medida puede servir de apoyo. Más adelante, al estudiar el sistema métrico se pondrán en juego también las relaciones entre fracciones decimales y números decimales (así como las relaciones de proporcionalidad). La organización del sistema de unidades de medida es decimal, por lo tanto la escritura de medidas pone en juego los números con coma. Por eso, la transformación entre unidades exige cálculos por 10, 100, 1.000 y por 0,1; 0,01; 0,001 (o por su expresión como fracción decimal por $$\frac{1}{10}$$, $$\frac{1}{100}$$, etcétera). La enseñanza debe apuntar a que los niños comprendan que el sistema métrico está basado en relaciones decimales entre las unidades: un decigramo es la décima parte del gramo (es $$\frac{1}{10}$$ o 0,1 del gramo); un miligramo es la milésima parte del gramo (es $$\frac{1}{1.000}$$ o 0,001 del gramo), etcétera. La escritura decimal permite entonces escribir con un solo número una medida compuesta por diferentes unidades. Por ejemplo: 4 gramos, 3 decigramos y 5 miligramos puede escribirse como 4,305 gramos.

Todas las actividades que exigen expresar una medida dada en una unidad en otra unidad, o analizar la información que provee la escritura de una medida, resultan oportunidades para volver a utilizar y enriquecer la multiplicación de números decimales por 10, 100, 1.000 y la relación entre la posición de las cifras y su valor.

En las actividades con la medida, a propósito de las equivalencias entre unidades (1 metro = 100 centímetros, etcétera), es posible establecer relaciones entre la escritura de una medida en forma de fracción o como escritura decimal.

Por ejemplo, en actividades como estas:

  1. ¿Qué parte es 1 cm del metro? Escribila como fracción y como número decimal.
  2. ¿Qué parte es 50 cm de un metro? Escribila como fracción y como número decimal.
  3. El hermano de Cecilia mide 140 cm, ¿cómo se escribe su altura en metros?

Marcá con una cruz cuáles de estas medidas son equivalentes entre sí.
a. 3 m 40 cm 340 cm 304 cm
b. 5 m 6 cm 5,06 cm 5,6 cm
c. 2,76 dm 27,6 cm 0,276 m

Las relaciones establecidas a propósito de trabajos de este tipo pueden sistematizarse en carteles como el siguiente:

Cartulina amarilla

  • GCABA, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula (2005) Números racionales (para 4º, 5º, 6º y 7º grado).
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  • GCABA, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento (2006) Matemática. Cálculo mental con números racionales. Apuntes para la enseñanza.
    • Consultar »
     
  • GCABA, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula (2001) Acerca de los números decimales: una secuencia posible. Aportes para el desarrollo curricular.
    • Consultar »
     
  • Ministerio de Educación de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires (2017) Matemática. 2º ciclo. Segunda parte. Aceleración y Nivelación. Serie Trayectorias Escolares.
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  • Ministerio de Educación de la Nación (2012) Matemática para todos en el Nivel Primario. Notas para la enseñanza. Operaciones con números naturales. Fracciones y números decimales. Vol. 1, pp. 97-111.
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  • Ministerio de Educación de la Nación (2014) Matemática para todos en el Nivel Primario. Notas para la enseñanza 2. Operaciones con fracciones y números decimales. Propiedades de las figuras geométricas, pp. 7-63.
    • Consultar »
     
  • Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007) NAP. Matemática 4, 5 y 6. Segundo ciclo EGB / Nivel Primario. Serie Cuadernos para el aula. 4º grado: pp. 49-64, 5º grado: pp. 90-113 y 6º grado, pp. 41-111.
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