El caso particular del cálculo de división
Es esperable que, al inicio del trabajo con problemas que implican el cálculo de división, los niños pongan en juego resoluciones ligadas a la distribución efectiva de elementos (materiales o representados) y al conteo del número de partes o del número de elementos por parte. Un avance significativo está dado por la utilización de números, al principio vinculada a lo que han dibujado, es decir al resultado de sus acciones. Luego podrán expresar aquello que representaron con un cálculo de suma o de resta, que podrán utilizar nuevamente en otros problemas similares. Como se ha dicho, el análisis compartido de modos diversos de resolver y su puesta en relación resulta muy potente para promover avances.
Frente a resoluciones como la siguiente, se puede pedir a un alumno que exprese lo que hizo con una cuenta.
Es deseable, entonces, que un niño pueda escribir el cálculo 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 y resolver la situación haciendo ese cálculo. Si no lo logra autónomamente, el docente puede intervenir ofreciéndole varios cálculos y que decida de todos ellos cuál puede servir para esa representación que hizo. En una situación colectiva, si el niño utilizó esa escritura (6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42) es importante que la explique para el resto de la clase. Puede decir: Fui sumando de a 6 cuidando de no pasarme de 42 y después conté los 6 que sumé, esas son las cajas.
Para resolver una división se pueden usar sumas o restas pero la respuesta no está dada por el resultado de esos cálculos sino por la interpretación de lo que representan, por el control del signifcado de los números. Luego, es desde esos significados que se puede promover la vinculación de estos modos de resolución con la multiplicación, operación que constituye la herramienta central para resolver divisiones. En este caso se trata de vincular el 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 con el cálculo 6 x 7.
Es necesario para continuar el avance, trabajar las relaciones entre la división y la multiplicación estableciendo que 24 : 6 es igual a averiguar por cuánto hay que multiplicar a 6 para obtener 24. Para llegar a esa relación se pueden proponer situaciones como las siguientes:
Un momento importante del trabajo es explicitar con los niños que la tabla pitagórica es una herramienta que permite encontrar el resultado de una división (y no solo de una multiplicación).
En ese uso de la tabla se pueden prever propuestas que avancen primero en la relación de la multiplicación con la división sobre números que están en la tabla pitagórica (por ejemplo 42 : 7); luego con divisiones con resto diferente de 0 pero que encuentran respuesta en la tabla (por ejemplo 37 : 5); y finalmente con cálculos que se extiendan a números mayores que ya no están presentes en la tabla (por ejemplo 84 : 7) para que los niños empiecen a aproximarse usando las multiplicaciones por 10.
De esta forma pueden plantearse situaciones como las siguientes:
Puede resultar fértil plantear situaciones en las que haya que buscar resultados aproximados de divisiones, por ejemplo, decidir si el resultado dará más de 10 o menos, más de 100 o menos, etc. Estas situaciones permiten trabajar con los niños la opción de encontrar resultados de divisiones, aproximándose a partir de multiplicaciones. Pueden plantearse situaciones como las siguientes:
Para propiciar el avance en las estrategias de cálculo de división, puede resultar valioso comparar diferentes procedimientos para dividir que hayan surgido, en particular incluyendo aquellos que se apoyen en cálculos multiplicativos. Por ejemplo, para el problema:
pueden analizarse los siguientes procedimientos posibles que podrían surgir en el grupo
Una vez que la mayor parte de los niños utiliza aproximaciones mediante multiplicaciones para resolver una división, se podría presentar el algoritmo extendido de la división, relacionándolo con los procedimientos de resolución ya construidos.
Por ejemplo, para el cálculo anterior (84 : 6) podrá presentarse el algoritmo tal como muestra la imagen. En el cálculo se escriben aquellos números que ya fueron utilizados en los procedimientos anteriores (el 10, del 10 x 6, el 4 del 4 x 6, etc.). Es importante relacionar los pasos implicados en el cálculo (las operaciones de multiplicación y resta que se ponen en juego) con el problema que se está resolviendo. Es una relación valiosa que permite controlar lo que se va haciendo, teniendo en cuenta su pertinencia para resolver la situación planteada: le doy 10 figuritas a cada uno, entonces como 10 x 6 es 60, uso 60 figuritas, quedan 24 para seguir repartiendo… etc.
Frente a resoluciones como la siguiente, se puede pedir a un alumno que exprese lo que hizo con una cuenta.
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Es deseable, entonces, que un niño pueda escribir el cálculo 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 y resolver la situación haciendo ese cálculo. Si no lo logra autónomamente, el docente puede intervenir ofreciéndole varios cálculos y que decida de todos ellos cuál puede servir para esa representación que hizo. En una situación colectiva, si el niño utilizó esa escritura (6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42) es importante que la explique para el resto de la clase. Puede decir: Fui sumando de a 6 cuidando de no pasarme de 42 y después conté los 6 que sumé, esas son las cajas.
Para resolver una división se pueden usar sumas o restas pero la respuesta no está dada por el resultado de esos cálculos sino por la interpretación de lo que representan, por el control del signifcado de los números. Luego, es desde esos significados que se puede promover la vinculación de estos modos de resolución con la multiplicación, operación que constituye la herramienta central para resolver divisiones. En este caso se trata de vincular el 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 con el cálculo 6 x 7.
Es necesario para continuar el avance, trabajar las relaciones entre la división y la multiplicación estableciendo que 24 : 6 es igual a averiguar por cuánto hay que multiplicar a 6 para obtener 24. Para llegar a esa relación se pueden proponer situaciones como las siguientes:
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Un momento importante del trabajo es explicitar con los niños que la tabla pitagórica es una herramienta que permite encontrar el resultado de una división (y no solo de una multiplicación).
En ese uso de la tabla se pueden prever propuestas que avancen primero en la relación de la multiplicación con la división sobre números que están en la tabla pitagórica (por ejemplo 42 : 7); luego con divisiones con resto diferente de 0 pero que encuentran respuesta en la tabla (por ejemplo 37 : 5); y finalmente con cálculos que se extiendan a números mayores que ya no están presentes en la tabla (por ejemplo 84 : 7) para que los niños empiecen a aproximarse usando las multiplicaciones por 10.
De esta forma pueden plantearse situaciones como las siguientes:
| Usando la tabla, escribí el resultado de las siguientes divisiones y escribí qué cálculo usaste para resolverlas. El primero ya está resuelto y va como ejemplo. | ||
| 20 : 5 = 4 porque 4 × 5 es 20 | 30 : 6 = __ porque __ | 56 : 8 = __ porque __ |
| 54 : 9 = __ porque __ | 27 : 3 = __ porque __ | 42 : 7 = __ porque __ |
| 18 : 2 = __ porque __ | 49 : 7 = __ porque __ | 35 : 5 = __ porque __ |
| Resolvé los siguientes cálculos, anotá el resto en cada caso y la multiplicación que te sirvió: | |
| 25 : 4 = ________ y sobra ________ | Porque 4 × ________ = ________ |
| 31 : 6 = ________ y sobra ________ | Porque 6 × ________ = ________ |
| 42 : 5 = ________ y sobra ________ | Porque 5 × ________ = ________ |
| 32 : 3 = ________ y sobra ________ | Porque 3 × ________ = ________ |
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Puede resultar fértil plantear situaciones en las que haya que buscar resultados aproximados de divisiones, por ejemplo, decidir si el resultado dará más de 10 o menos, más de 100 o menos, etc. Estas situaciones permiten trabajar con los niños la opción de encontrar resultados de divisiones, aproximándose a partir de multiplicaciones. Pueden plantearse situaciones como las siguientes:
Un grupo de 4 amigos gastaron $96 en un regalo que compraron para un cumpleaños. Quieren pagarlo en partes iguales. Sin hacer el cálculo exacto de cuánto va a pagar cada uno, indicá si cada uno deberá pagar:
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Para propiciar el avance en las estrategias de cálculo de división, puede resultar valioso comparar diferentes procedimientos para dividir que hayan surgido, en particular incluyendo aquellos que se apoyen en cálculos multiplicativos. Por ejemplo, para el problema:
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pueden analizarse los siguientes procedimientos posibles que podrían surgir en el grupo
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Una vez que la mayor parte de los niños utiliza aproximaciones mediante multiplicaciones para resolver una división, se podría presentar el algoritmo extendido de la división, relacionándolo con los procedimientos de resolución ya construidos.
Por ejemplo, para el cálculo anterior (84 : 6) podrá presentarse el algoritmo tal como muestra la imagen. En el cálculo se escriben aquellos números que ya fueron utilizados en los procedimientos anteriores (el 10, del 10 x 6, el 4 del 4 x 6, etc.). Es importante relacionar los pasos implicados en el cálculo (las operaciones de multiplicación y resta que se ponen en juego) con el problema que se está resolviendo. Es una relación valiosa que permite controlar lo que se va haciendo, teniendo en cuenta su pertinencia para resolver la situación planteada: le doy 10 figuritas a cada uno, entonces como 10 x 6 es 60, uso 60 figuritas, quedan 24 para seguir repartiendo… etc.